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1×1
Erläuterung: Angenommen Die erste Matrix hat die Größe a * b und die zweite Matrix die Größe c * d (a & c entsprechen der Zeile und b & d der Spalte).
Die Matrixmultiplikation zwischen den beiden Matrizen ist nur möglich, wenn b = c und die resultierende Matrix haben die Größe a * d.
Hier ist a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. als b = c können wir dann multiplizieren und die resultierende Matrix hat die Größe a * d (1 * 1)
Antwort
Die beliebige Zwei-mal-Zwei-Matrix ist
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
Es kann eine multiplikative Inverse A ^ {- 1} mit der Eigenschaft AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A haben = I, die Identitätsmatrix, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.
Finden wir die Umkehrung, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}
AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}
Wir haben zwei trennbare zwei durch zwei lineare Systeme,
ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1
Machen wir den ersten und lösen nach x und z.
adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0
(ad-bc) x = d
x = \ dfrac {d} {ad-bc}
acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0
z = \ dfrac {-c} {ad-bc}
Vom anderen System wir erhalten
ady + bdw = 0, bcy + bdw = b
y = \ dfrac {-b} {ad-bc}
und ähnlich
z = \ dfrac {a} {ad-bc}
Alles zusammenfügen ier sehen wir
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
Die Menge | A. | = \ det (A) = ad-bc heißt Determinante . Sie ist genau dann ungleich Null, wenn die Matrix eine Inverse hat. Die Determinante ist multiplikativ – die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen ist das Produkt ihrer Determinanten.
Die Matrix \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} heißt Adjugat bezeichnet \ textrm {adj} (A).
Überprüfen wir, ob A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; I, die Matrix, die bis auf die Determinante in den Diagonalen alle Null ist.
A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( EIN) \; I \ quad \ checkmark
Die Antwort auf die Frage lautet: Wenn der Nenner nicht Null ist,
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
ist die Matrix, die wir mit
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}