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Wie groß ist Rayos Nummer im Vergleich zu Grahams Nummer? Es ist größer. Viel größer. Es wurde entworfen, um zu sein.
Grahams Zahl ist enorm. Es ist so viel größer als gewöhnliche große Zahlen wie eine Googolplex , dass es ziemlich umwerfend sein kann, zu begreifen, wie viel größer es ist. Im Bereich der enormen Zahlen ist Grahams Zahl jedoch keine Ausnahme. Es gibt ganze Mengen von Zahlen, die wurden so konzipiert, dass sie genauso umwerfend größer sind als Grahams Zahl, wie Grahams Zahl selbst groß ist. Grahams Zahl wurde nicht entwickelt, um besonders groß zu sein; tatsächlich entstand sie bei dem Versuch, eine kleinste Obergrenze für ein mathematisches Problem (und seitdem wurden viel kleinere Obergrenzen für dieses Problem gefunden!). Das einzige Besondere an Grahams Zahl war, dass zu der Zeit war es die größte Zahl, die in einem signifikanten mathematischen Beweis oder einer Ableitung verwendet wurde.
Andere Zahlen, die Grahams Zahl verlassen weit dahinter wurden seitdem abgeleitet oder in aussagekräftigen Beweisen verwendet. Ein Beispiel ist TREE (3) , aber es gibt auch viele andere.
Rayos Nummer unterscheidet sich ein wenig von all diesen. Sie sehen, Rayos Nummer wurde speziell entwickelt, um eine ungeheuer große Zahl zu sein. Sie ist praktisch per Definition größer als jede dieser anderen Zahlen, die wir haben Es ist so viel größer als jeder von ihnen, dass wir nicht einmal genau wissen, wie groß es ist. Aber wir kennen ziemlich viele erschreckend große Zahlen, von denen wir wissen, dass sie größer sein müssen als!
Offensichtlich ist sogar Rayos Zahl in keiner Weise „die größte Zahl“. Es gibt so etwas nicht. Wir können immer eine zu jeder Zahl hinzufügen und eine etwas größer machen. Wir können jede Zahl aus eigener Kraft erhöhen und erhalten eine ziemlich viel größere. Aber Rayos Zahl wird derzeit als die größte endliche Zahl angesehen, der jemals jemand einen Namen gegeben hat (mit Ausnahme trivialer Erweiterungen wie Rayos Zahl plus eins und dergleichen).
Antworte
Rayos Nummer i s ist viel größer.
Ich werde erklären, was Rayos Nummer ist, dann werden wir verstehen, warum sie viel größer ist als Grahams Nummer.
Es gibt dieses alte Paradoxon, das ungefähr so aussieht: N sei definiert als „die kleinste positive ganze Zahl, die in höchstens zwölf englischen Wörtern nicht definierbar ist“.
Man könnte fragen, was ist N?
Nun, was auch immer N ist, es ist klar definierbar in höchstens zwölf englischen Wörtern, nämlich den Wörtern „Die kleinste positive ganze Zahl, die in höchstens zwölf englischen Wörtern nicht definierbar ist“. Dies ist jedoch ein Widerspruch, da N per Definition nicht durch zwölf englische Wörter definiert werden kann.
Paradox! SpoooOoOoOky!
Die Lösung für dieses Paradoxon ist, abgesehen von der Tatsache, dass „Englisch“ im Allgemeinen vage ist, dass „definierbar“ besonders schlecht definiert ist. Wenn welche Zahlen definierbar sind, hängt vom Wort „definierbar“ ab, dessen Bedeutung davon abhängt, welche Zahlen definierbar sind, erhalten Sie eine zirkuläre Definition, die nicht aufgelöst werden kann.
Warum habe ich dieses Paradoxon angesprochen?
Rayos Nummer kann als „Formalisierung“ des oben Gesagten angesehen werden. Es verwendet eher eine mathematische Sprache als Englisch und präzisiert den Begriff „Definierbarkeit“. Rayos Zahl ist
„Die kleinste positive Ganzzahl, die größer ist als jede endliche positive Ganzzahl, die durch einen Ausdruck in der Sprache der Menge erster Ordnung benannt wird Theorie mit einem Googol-Symbol oder weniger. „
Mengenlehre erster Ordnung – hier bedeutet“ Logik erster Ordnung in der Domäne des Von Neumann-Universums , ein Modell von Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre „- ist eine präzise mathematische Sprache. Dies Die formale Sprache hat die Eigenschaft, dass sie denselben Satz nicht zirkulär codieren und ein Paradoxon erzeugen kann. (Sie können die ZFC-Axiome in Logik erster Ordnung beschreiben und sogar einen Mechanismus zur Bewertung von Beweisen usw. beschreiben, aber Sie kann kein Von Neumann-Universum in sich selbst erschaffen.)
Warum ist das also größer als Grahams Zahl?
Nun, Grahams Zahl ist nicht sehr schwer zu definieren Lesen Sie die Definition auf Wikipedia und es ist völlig elementar, in Bezug auf up arr ow-Notation, die durch Potenzierung definiert wird. Natürlich können Sie Grahams Nummer mit höchstens 10.000 Symbolen codieren. Ich bin hier konservativ. Und Grahams Zahl ist nicht annähernd die größte Zahl, die in 10.000 Symbolen definiert werden kann. Aber Rayos Zahl ist größer als jede Zahl, die mit googol = 10 ^ {100} Symbolen definiert werden kann. Das ist ungeheuerlich größer als Grahams Nummer! Tatsächlich kann die Mengenlehre erster Ordnung über Turing-Maschinen sprechen, sodass Rayos Zahl sogar viel größer ist als beispielsweise BusyBeaver (egal an welche große Zahl Sie denken).