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George Gamow erklärt in seinem Buch „Gravity“, wie Galileo zu dieser Formel gekommen ist / p>
Galileo untersuchte fallende Körper. Er wollte die mathematische Beziehung zwischen der Zeit, die der Fall eines Objekts benötigt, und der zurückgelegten Entfernung kennen. Also machte er ein Experiment.
Er baute eine schiefe Ebene. Dann ließ er die Kugeln aus verschiedenen Materialien das Flugzeug hinunter rollen (er schob sie nicht). Er maß die vom Ball zurückgelegten Strecken am Ende der 1., 2., 3. und 4. Sekunde. Er hätte den freien Fall des Balls direkt arrangieren können. Aber der freie Fall ist ziemlich schnell und er hatte zu dieser Zeit keine guten Uhren. Durch Experimente auf der schiefen Ebene reduzierte er die auf die Kugel wirkende Schwerkraft und verlängerte die Zeit bis zum Erreichen des Bodens, was von der Neigung der schiefen Ebene abhängt. Die folgende Abbildung erklärt dies:
Aus der Abbildung können wir zeigen, dass
[math] \ frac {mgsin (a)} {mg} = sin (a) = \ frac {x} {z} [/ math].
Je kleiner das x, desto geringer ist die Bewegung, die Kraft und Kraft verursacht mehr wird die Zeit sein, die der Ball braucht, um den Boden zu erreichen. Galileo stellte fest, dass die vom Ball am Ende der 2., 3. und 4. Sekunde zurückgelegten Strecken das 4-, 9- und 16-fache der am Ende der 1. Sekunde zurückgelegten Strecke betragen. Dies zeigt, dass die Geschwindigkeit des Balls so zunimmt, dass die vom Ball zurückgelegten Entfernungen mit den Quadraten der Reisezeit zunehmen. Nun war die Frage, wie man die Geschwindigkeit mit der Zeit in Beziehung setzt, die über der Distanz-Zeit-Beziehung angegeben ist. Galileo sagte, dass diese Art von Distanz-Zeit-Beziehung nur erhalten werden kann, wenn die Geschwindigkeit des Balls direkt proportional zur Zeit ist. Die folgende Abbildung zeigt das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm des oben genannten Experiments und die Aussage von Galileo:
In der obigen Abbildung Punkt A entspricht einer Nullposition des Balls (am oberen Rand der schiefen Ebene) und Punkt B entspricht einem Ball mit der Geschwindigkeit v am Ende des Zeitintervalls t. Wir wissen, dass die Fläche des Dreiecks ABC die vom Ball zurückgelegte Strecke angibt , s, im Zeitintervall (0, t). Daher ist die zurückgelegte Strecke
s = \ frac {1} {2} vt.
Aber gemäß Galileo „s Argument, v ist direkt proportional zu t, dh v = bei wo a Beschleunigung ist.
[math] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} bei ^ 2. [/ math]
Die zurückgelegte Strecke nimmt also zu als das Quadrat der Zeit, das unsere experimentelle Beobachtung war. Diese Formel gibt die zurückgelegte Distanz an, wenn dem Ball keine Anfangsgeschwindigkeit gegeben wird. Wenn der Ball jedoch eine Anfangsgeschwindigkeit u hat, wird der Ausdruck „ut“ zu der obigen Formel hinzugefügt, die die in der Zeit t bei der Geschwindigkeit u zurückgelegte Strecke ist. Dieser Begriff erhöht nur die in unserem Experiment gemessenen Entfernungen, behält jedoch die gleiche Distanz-Zeit-Beziehung bei. Daher lautet die endgültige Formel:
s = ut + \ frac {1} {2} bei ^ 2.
Antwort
Wenn Sie versuchen, etwas Verwandtes zu beweisen Bei positiven ganzen Zahlen sollte Ihr erster Gedanke die Induktion sein. Das Problem ist, dass es keinen sofort offensichtlichen Weg gibt, um fortzufahren. Wir möchten in der Lage sein, beiden Seiten der Ungleichung etwas hinzuzufügen, aber dann würde sich die Grenze auf der rechten Seite erhöhen.
Der Trick bei diesem Problem besteht darin, die Grenze tatsächlich stärker zu machen, als sie derzeit ist. Wir werden also die zugehörige Aussage
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots beweisen + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {n}
für alle positiven ganzen Zahlen n \ geq 3. Die ursprüngliche Aussage folgt n kann sich der Unendlichkeit nähern.
Beachten Sie, dass für jede positive ganze Zahl k
\ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {(k + 1) gilt ) ^ 2}> \ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac {k} {k (k + 1)} = \ dfrac {1} {k + 1}.
Wenn wir dies wissen, können wir durch Induktion fortfahren.
Da \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {3}, der Basisfall n = 3 ist wahr.
Nehmen wir nun an, dass die Aussage für einige k gilt, nämlich dass
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k}.
Wir möchten zeigen, dass die Aussage gilt auch für k + 1. Fügen Sie dazu \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} zu beiden Seiten hinzu:
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}.
Aufgrund der oben nachgewiesenen Ungleichung vereinfacht sich dies zu
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k + 1},
das ist genau das, was wir beweisen wollten.
Daher gilt nach dem Prinzip der mathematischen Induktion die modifizierte Aussage für alle ganzen Zahlen n \ geq 3, also ist auch die ursprüngliche Aussage wahr.
BEARBEITEN: Wie Predrag Tosic in den Kommentaren hervorhob, muss das Zeichen n ein \ leq in geändert werden, wenn wir n erlauben, sich der Unendlichkeit zu nähern In diesem Fall konvergieren die beiden Seiten der Ungleichung zum gleichen Wert.Dies kann jedoch behoben werden, indem stattdessen die Ungleichung
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} nachgewiesen wird + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ epsilon – \ dfrac {1} {n}
für einen winzigen Wert von \ epsilon ( Sagen wir, \ dfrac {1} {100}), was, wenn n gegen unendlich geht, zu
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ führen würde dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4} – \ epsilon,
, aus dem die gewünschte Aussage folgt.