Beste Antwort
befindet Eine Matrixtransformation ist genau dann aktiviert, wenn die Matrix in jeder Zeile eine Drehposition hat. Reduzieren Sie die Zeilen und überprüfen Sie dann, ob die Anzahl der Pivots der Anzahl der Zeilen entspricht.
Okay, da dies nicht im Weg ist, muss ich jetzt meine Schimpfe machen.
Jedes Mal, wenn jemand das Adjektiv „auf“ oder „linear unabhängig“ auf eine Matrix anwendet, schaudere ich ein wenig. Das ist ein Kategoriefehler. Sagen Sie stattdessen bitte: „Woher wissen Sie, ob eine Matrix -Transformation aktiviert ist?“
Sie sehen, Terminologie ist in der Mathematik sehr wichtig . Das Schöne an der linearen Algebra ist, dass Sie bei einem linearen System oder einer linearen Transformation eine -Matrix aufschreiben können, die nur ein Rechteck mit darin enthaltenen Zahlen ist dieses lineare System oder diese lineare Transformation. Wenn Sie dann verschiedene Dinge mit dem Zahlenfeld tun, erhalten Sie alle Informationen über das ursprüngliche System oder die ursprüngliche Transformation zurück . Die lineare Algebra ist in erster Linie das Studium dieser Beziehungen. Die meisten Schüler der linearen Algebra zeigen jedoch, wenn sie die Terminologie falsch verwenden, dass sie nicht ganz verstehen, wie es tatsächlich getrennte Konzepte gibt, die in Beziehung gesetzt werden müssen.
Das Adjektiv „auf“ gilt einfach nicht für Matrizen. Dies ist wie die Frage: „Wie können Sie feststellen, ob ein Bett schläfrig ist?“ Die Tatsache, dass Sie diese Frage stellen, bedeutet, dass Sie nicht verstehen, was schläfrig bedeutet oder was Bett bedeutet oder beides.
Hier ist ein Spickzettel mit den wichtigsten Objekttypen, die in der linearen Algebra vorkommen, sowie einigen der gebräuchlichsten Begriffe, mit denen sie beschrieben werden:
Für Matrizen A, B sind die folgenden Sätze kein Kauderwelsch:
– A befindet sich in (Reihenebenenform / reduzierte Reihenebenenform)
-Pivot (Positionen / Zeilen / Spalten) ) von A;
-A ist (Quadrat / Diagonale) / invertierbar / oberes Dreieck / unteres Dreieck)
– (Rang / Determinante / Eigenwerte / Eigenvektoren / charakteristisches Polynom) von A
– (Nullraum / Spaltenraum) von A;
– – A ist (Zeilenäquivalent / ähnlich) zu B
– Die Matrixtransformation \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x
Wenn A x = b ist ein lineares Gleichungssystem , die folgenden Sätze sind kein Kauderwelsch:
– (Lösung / Lösungssatz / Allgemeine Lösung) des Systems
– Das System hat (eine eindeutige Lösung / keine Lösungen / unendlich viele Lösungen / n freie Variablen)
– Das System ist (konsistent / inkonsistent / unterbestimmt / überbestimmt)
– (Koeffizientenmatrix / erweitert) Matrix) des Systems
Wenn T: \ mathbb R ^ n \ mapsto \ mathbb R ^ m eine lineare Transformation ist, gilt Folgendes Phrasen sind keine Gibberi Sch. Beachten Sie, dass wenn A eine Matrix ist, man von der Matrixtransformation \ mathbf sprechen kann x \ mapsto A \ mathbf x, was eine lineare Transformation ist.
– (Domäne / Codomäne / Bereich) von T
– T ist (auf / eins zu eins / invertierbar)
-Standardmatrix von T; Matrix von T in Bezug auf Basen \ beta\_1, \ beta\_2
– (Rang / Determinante / Eigenwerte / Eigenvektoren / Charakteristik Polynom) von T
Wenn S = \ {v\_1, v\_2, \ ldots, v\_n \} eine Satz von Vektoren in \ mathbb R ^ m , Die folgenden Sätze sind kein Kauderwelsch. Beachten Sie, dass wenn A eine m \ times n-Matrix ist, sich die Spalten von A bilden eine solche Menge.
– S ist linear (unabhängig / abhängig)
-Span von S
-S (erstreckt sich über V / ist eine Basis für V ), wobei V ist Ein Unterraum von \ mathbb R ^ m
Antwort
Eine endliche dimensionale quadratische Matrix befindet sich nur für den Fall, dass ihre Determinante nicht Null ist. Sie können dies am effizientesten mit der Gaußschen Eliminierung überprüfen.
Im Allgemeinen wird eine endliche rechteckige Matrix nur für den Fall verwendet, dass ihre Transponierung injektiv ist. Dies tritt nur für den Fall auf, dass die Zeilen (oder Spalten) der ursprünglichen Matrix abhängig von der Konvention verwendet werden, die Sie für die Eingabe verwenden und was ausgegeben wird) sind linear unabhängig, das heißt, die Matrix hat den vollen Zeilenrang. Auch hier ist die Gaußsche Eliminierung Ihr Freund: Bringen Sie die Matrix in die Reihenebenenform und prüfen Sie, ob der Eintrag unten rechts Null ist (äquivalent, ob Es gibt beliebige Zeilen mit allen Nullen. Die Matrix ist genau dann aktiviert, wenn der Eintrag unten rechts ungleich Null ist.