Beste Antwort
Wie bei allen anderen Vektorräumen definieren Sie zunächst eine Basis, z. B. {1, x, x ^ 2, …, x ^ n, …}. Der Vektorraum erkennt keine Beziehungen zwischen x ^ a und x ^ b (wie (x) (x) = x ^ 2), außer der Tatsache, dass sie linear unabhängig sind, so dass Sie sich an einem Punkt vorstellen können, an dem wir unendliche Achsen haben Jeder Achse hat einen Einheitsvektor (Sie können dem gewünschten Einheitsvektor eine beliebige Länge zuweisen, da es im Vektorraum ohnehin kein Längenkonzept gibt). Wir können Polynome als Punkte in diesem Referenzrahmen definieren Definieren Sie die Punkte? Verwenden Sie die Definition des Vektorraums (zum Beispiel: Einheitsvektor x ^ a in V, dann kx ^ a durch Skalieren des Einheitsvektors x ^ a in V).
In Bezug auf Struktur gibt es keinen Unterschied zwischen dem Polynomraum und der Unendlichkeit R ^, dem realen Raum unendlicher Dimensionen. Auf der Grundlage, dass beide Vektorräume unendliche (zählbare) Elemente in ihrer Basis haben, sind sie hinsichtlich der mathematischen Struktur gleich
Sie können den Polynomraum nicht „physisch“ sehen, da er unendliche Achsen hat, aber Sie können Algebra und eine Basis verwenden, um ihn zu verstehen.
Antwort
Seymour Froggs Frage: Wenn psi (x) ein Vektor ist, hat er (Größe und) Richtung. Was bedeutet diese Richtung, wenn der Vektor eine Funktion ist ( say) im abstrakten Raum?
Ein Beispiel als Antwort (Quelle Wikipedia): „…
Eine geometrische Interpretation der Formel von Euler
Euler führte die Verwendung von ein Exponentialfunktion und Logarithmen in analytischen Beweisen. Er entdeckte Wege, um verschiedene logarithmische Funktionen mithilfe von Potenzreihen auszudrücken, und definierte erfolgreich Logarithmen für negative und komplexe Zahlen , wodurch der Umfang der mathematischen Anwendungen von Logarithmen erheblich erweitert wurde.
Er definierte auch die Exponentialfunktion für komplexe Zahlen und entdeckte ihre Beziehung zu den trigonometrischen Funktionen . Für jede reelle Zahl φ (als Bogenmaß angenommen) gilt Eulers Formel besagt, dass die komplexe Exponentialfunktion
{\ displaystyle e ^ {erfüllt. i \ varphi} = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi.}
Ein Sonderfall der obigen Formel ist als Eulers Identität bekannt ,
{\ displaystyle e ^ {i \ pi} + 1 = 0}
von Richard P. Feynman für seine einmaligen Verwendungen der Begriffe Addition, Multiplikation, Exponentiation und Gleichheit sowie für die einmaligen Verwendungen der wichtigen Konstanten 0, 1, e , i und π.
1988 Leser der Mathematical Intelligencer wählte es zur“ schönsten mathematischen Formel aller Zeiten „. … ”- Sie können sich Ihren Vektor innerhalb von
- eines Kreises in einer flachen Ebene im Raum oder
- eines Zylinders im Raum vorstellen.
Es kann verwendet werden, um
- zu beschreiben, wie sich der Mond und die Satelliten um die Welt drehen oder
- wie sich ein rotierender Teil eines einfachen rotierenden Motors bewegt.
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