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Ich habe mich entschlossen, ein wenig darüber nachzudenken, was wahrscheinlich die einzige Anwendung von Polynomen ist, die wahrscheinlich verwendet wird am meisten. Ich vermute, dass im modernen Zeitalter der Hochfrequenz-Handelsalgorithmen und des Online-Bankings fast alles, was mit der sicheren Übertragung von Finanzinformationen zu tun hat, ein wahrscheinlicher Gewinner ist. Werden dabei Polynome verwendet? Wetten, dass dies der Fall ist?
Gestatten Sie mir, Ihnen geheimes Teilen vorzustellen. Wir beginnen mit einem Spielzeugbeispiel und sehen dann, wie dies tatsächlich praktikabel sein kann: Nehmen wir an, Sie sind der Manager einer Bank. Sie haben einen Geld-Cache, der im Safe eingeschlossen werden muss, aber Sie werden nicht da sein, wenn die Lieferung erfolgt. Sie müssen Ihre Kassierer bitten, den Safe für Sie freizuschalten. Leider vertraust du keinem von ihnen genug, um ihnen nur einen Schlüssel zu geben, aus Angst, dass sie etwas stehlen könnten. Sie sind jedoch ziemlich zuversichtlich, dass keiner von ihnen etwas versuchen wird, wenn drei von ihnen sich gegenseitig beobachten. Sie möchten also ein System einrichten, in dem jeder von ihnen Teil eines Schlüssels hat, mit dem er den Safe nicht öffnen kann selbst, aber wenn drei von ihnen zusammenkommen, können sie den Safe öffnen.
Dies ist die Grundidee hinter der geheimen Freigabe – Sie möchten eine Teilen eines Geheimnisses zwischen mehreren Empfängern, so dass keiner von ihnen das Geheimnis selbst bestimmen kann, aber wenn eine bestimmte Anzahl von ihnen zusammenkommt, können sie es. Dies hat eine sehr praktische Anwendung in der Computersicherheit, da Sie möglicherweise über eine Reihe verschiedener Server verfügen, auf die Sie gemeinsam Zugriff auf sichere Informationen haben möchten, z. B. Bankdaten einer Person oder möglicherweise eine Datenbank mit Kennwörtern. Sie könnten jedoch befürchten, dass einer dieser Server kompromittiert wird. Sie richten die Dinge so ein, dass nur mehrere Server, die zusammenarbeiten, die gewünschte Aufgabe tatsächlich ausführen können.
Wie funktioniert die geheime Freigabe tatsächlich? Hier kommen Polynome ins Spiel. Es gibt ein paar verschiedene Schemata, aber das ursprüngliche und wahrscheinlich immer noch am häufigsten verwendete ist Shamirs geheime Freigabe Vereinfachte Version davon (in der Praxis müssen Sie einige Änderungen vornehmen, um alles effizient berechenbar und sicher zu machen): Angenommen, Sie möchten, dass alle k-Freigaben das Kennwort wiederherstellen können, das eine ganze Zahl N ist. Sie machen den vollständigen Schlüssel ak – 1-Grad-Polynom, wobei N der konstante Term ist. In dem obigen Beispiel, in dem drei Kassierer den Safe öffnen sollen, lautet das Kennwort möglicherweise 1043, sodass das geheime Polynom möglicherweise 3X ^ 2 lautet – 531X + 1043. Jede der Freigaben ist ein Punkt in diesem Polynom. Wenn also sechs Kassierer vorhanden sind, können Sie jedem von ihnen einen der folgenden Punkte geben:
\ displaystyle (-3, 2663), (-2, 2117), (-1, 1577), (1, 515), (2, -7), (3, -523). \ Tag * {}
Hier ist der kicker: niemand kann an seinem einen punkt herausfinden, was der ursprüngliches quadratisches Polynom war. Keine zwei Kassierer können herausfinden, was das ursprüngliche quadratische Polynom war. Wenn jedoch drei zusammenkommen, können sie herausfinden, dass ein eindeutiges quadratisches Polynom durch alle drei Punkte verläuft, und daraus können sie das herausarbeiten Passwort ist 1043.
Antwort
A2A. Die am häufigsten verwendete Polynomgleichung ist eine Linie. Es wird die ganze Zeit verwendet, wie Sie sicher wissen.
Fahren wir also mit quadratischen Polynomen fort. Diese haben die Form y = ax ^ 2 + bx + c, wobei a, b und c reelle Konstanten sind.
Sie werden von der Anzahl der Anwendungen überrascht sein, die quadratische Gleichungen verwenden.
Wirf einen Ball in die Luft. Der Bogen, dem er folgt, ist eine Parabel. Und eine Parabel kann durch eine quadratische Gleichung dargestellt werden.
Hier ist eine umgedrehte Parabel. Ignorieren Sie die Teile unterhalb der x-Achse. Wenn Sie am linken Punkt ganz links stehen und den Ball in einem Winkel nach oben werfen würden, würde die maximale Höhe am blauen Punkt erreicht und am rechten Punkt auf dem Boden aufschlagen.
Mit ein wenig Hilfe aus der Physik können Sie die maximale Höhe berechnen, wenn Sie die Geschwindigkeit und den Winkel des Balls kennen, wenn er Ihre Hand verlassen hat Zeit, die benötigt wird, um diese Höhe zu erreichen, und die Zeit, die benötigt wird, um den Boden zu berühren, und die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt. Sie können sich vorstellen, wie oft das Militär dies in seinen Zielsystemen verwendet.
Hier ist eine weitere Parabel:
Beachten Sie den roten Punkt, der als Fokus bezeichnet wird. Was ist der Fokus einer Parabel? Eine Möglichkeit, eine Parabel zu definieren, besteht darin, dass die Menge der Punkte in einer Ebene gleich weit von einer bestimmten Linie entfernt ist, die als Directrix bezeichnet wird, und a gegebener Punkt genannt der Fokus.
Beachten Sie beispielsweise, dass der Ursprung (0, 0) 2 Einheiten vom Directrix und 2 Einheiten vom Fokus entfernt ist. Wenn Sie einen Punkt auf der Parabel ausgewählt und die Senkrechte zur Geraden nach unten und dann eine weitere Linie zum Fokus gezogen haben, sind diese gleich lang.
Beachten Sie, dass die Gleichung für diese Parabel y = lautet \ frac {1} {8} x ^ 2.
Hier ist etwas sehr Cooles an einer Parabel und ihrem Fokus. Wenn Sie eine dreidimensionale Parabel (ein Paraboloid) nehmen, halten Sie sie in Ihrer Hand. und richten Sie es auf eine Gruppe von Dallas Cowboys über das Feld, die Schallwellen werden vom Paraboloid abprallen und zum Fokus gehen. (Jetzt wissen Sie, woher der Name kommt.) Wenn Sie ein Mikrofon in den Fokus setzen, werden Sie “ Sie können die Cowboys so gut hören, dass Sie sie ausschalten müssen, weil Kinder in der Nähe sind. Dies ist die einzige Form, die diese Eigenschaft hat.
Außerdem werden bei Teleskopen Parabolspiegel für verwendet Aus dem gleichen Grund. Es ist auf einen Bereich des Himmels gerichtet. Anstelle eines Mikrofons im Fokus wird dort eine Form einer digitalen Fotoplatte platziert. Das gesamte Licht, das auf die Parabel trifft, wird an den Fokus gesendet Sie können also Sterne und Galaxien sehen, die Sie nicht mit Ihren Augen sehen können.
Bei modernen Teleskopen verfolgt das Teleskop sogar einen Bereich des Himmels, der sich bewegt, um sich an die Erdrotation anzupassen. Die Fotoplatte nimmt also nicht nur aufgrund der Größe des Spiegels viel Licht auf, sondern auch, weil sie stundenlang auf einen Bereich des Himmels fokussiert bleibt.
Lassen Sie es uns hier für Parabeln.
Hier ist eine interessante Information. Wenn Sie und ein Freund sich an den Enden eines Seils festhalten, sieht es so aus, als wäre die Form des Seils eine Parabel. Leider ist es weder eine Parabel noch ein Polynom.
Diese hängende Kette befindet sich ziemlich nahe an der Form einer Parabel. Aber seine Form wird eine Oberleitung genannt. Die Formel ist ziemlich einschüchternd:
y = \ frac {a (e ^ {x \ über a} + e ^ \ frac {-x} {a})} {2}
Na ja. Nicht jede Figur kann eine Parabel sein. Aber wenn ich jemals die Chance bekomme, mein eigenes Universum zu erschaffen, wird jede Figur eine Parabel sein.