Nejlepší odpověď
To není rotace pro 45 ^ o. To je transformace k otočení vektoru v \ mathbb {R} ^ 2 o úhel \ theta. Vzorec můžete odvodit takto:
Nechte vektor \ mathbf {V} otočit o úhel \ theta pod nějaká transformace pro získání nového vektoru \ mathbf {V „}.
Nechť r = | \ mathbf {V} |. Pak máme vztahy:
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x „= r \ cos (\ alpha + \ theta)
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y“ = r \ sin (\ alpha + \ theta)
Odtud máte vztahy:
v\_x „= v\_x \ cos \ theta – v\_y \ sin \ theta
v\_y „= v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta
Toto je reprezentováno v maticové podobě jako
\ begin {pmatrix} v\_x“ \\ v\_y „\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta && – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
Odpověď
Existuje několik způsobů, jak na tento problém zaútočit.
Prvním je zcela jednoduše vyvolat Eulerovu rotaci věta, která uvádí, že jakýkoli konečný počet rotací kolem jednoho pevného bodu (ale kolem libovolných os v nd lze vyjádřit jako jednu rotaci úhlu \ theta kolem osy \ hat {n}.
Pokud přijmeme, že každá rotace je reprezentována maticí a že metoda rotace vektoru je násobení matice, pak z toho okamžitě vyplývá, že produkt rotačních matic A\_1 A\_2 … A\_n musí být také rotační maticí – jinak jsme porušili Eulerovu rotační větu.
Otázkou samozřejmě je, jak ve skutečnosti prokážete tuto větu.
Eulerovo původní dílo je … hrubé. Zahrnuje mnoho, mnoho trojúhelníků nakreslených na povrchu koulí (tj. Neeuklidovských trojúhelníků).
Pokud chcete sledovat důkaz až do konce, zdá se, že stránka wikipedia, na kterou se odkazuje dříve, odvede slušnou práci na půli cesty.
Alternativní metoda (nebo ekvivalentní sekundární způsob, jak dokázat Eulerovu větu, myslím), je přímo použijte vlastnosti rotačních matic, s malou exkurzí do teorie skupin.
Rotace, matematicky vzato, je jakákoli operace, při které vzdálenosti mezi všemi body v prostoru zůstávají konstantní a která opouští body, nebo sada bodů, pevná (za předpokladu, že jsme v jednoduchém euklidovském prostoru), kromě zachování orientační struktury objektu.
Ve skupinově teoretickém jazyce tyto operace nazýváme (v euklidovském prostoru) ) „Zvláštní ortogonální skupina v dimenzích n“ nebo zkráceně SO (n).
Matice A, které jsou členy SO (n), jsou definovány následujícími dvěma vlastnostmi:
- A ^ TA = 1\_n („ortogonální“ bit)
- \ text {det} (A) = 1 („speciální“ bit)
Tj rotační matice jsou ortogonální matice s určující. Zde 1\_n je matice identity v dimenzích n.
Podmínka „ortogonality“ je podmínka, která zajišťuje zachování vzdáleností, protože v euklidovském prostoru máme délku dof vektor \ mathbf {v}, který je:
\ displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
Pokud otočíme tento vektor, tak \ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}, s A ortogonální vektor, pak podle vlastností násobení matic:
\ displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
Proto je vzdálenost d nebyla ovlivněna rotací.
Všechny ortogonální matice mají determinant \ pm 1, ale ty s negativním determinantem také obsahují zrcadlový převrácený odraz kolem nějaké osy. Vzhledem k tomu, že chceme čistou rotaci, nikoli odrazy, abychom se zachovali orientaci objektů v našem prostoru, omezujeme se tedy na ty s pozitivními determinanty – odtud pochází „speciální“ bit.
Skutečnost, že jsem zmínil, že tyto struktury tvoří skupinu (s přidruženou operací je multiplikace matice), je ve skutečnosti dostatečný k závěru, že produkt několika rotačních matic je ve skutečnosti také rotací, protože skupiny jsou definovány jako c propadl pod skupinovou operací .
To znamená, že jakékoli dva prvky g\_1 a g\_2 ve skupině G, se skupinovou operací g\_1 \ bullet g\_2 musí vrátit třetí prvek, g\_3, který je také členem skupiny G. Pokud jsou tedy A a B rotační matice, z definice skupiny to vyplývá že A \ bullet B = AB je také rotační maticí.
Samozřejmě … toto je podvodná cesta ven. Abych uvedl, že SO (n) byla skupina, musím dokázat, že to byla pravda! Lze jej také explicitně zobrazit z následujících obecných vlastností transpozice a determinantu:
- (AB) ^ T = B ^ TA ^ T
- \ text {det} (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B)
Proto vytvoříme matici C = AB, kde A a Bare členové SO (n) .
Potom uvažujeme:
- C ^ TC = (B ^ TA ^ T) (AB) = B ^ T (A ^ TA) B = B ^ TB = {1\_n}
- Protože A ^ TA = 1\_n a B ^ TB = 1\_n a asociativita násobení matic.
- \ text {det} (C) = \ text {det } (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B) = 1 \ krát 1 = 1
Vidíme tedy, že C je ortogonální matice s jeden určující – tj. je členem SO (n), a tedy je rotační maticí.
Proto jsme dokázali, že SO (n) (a skutečně O (n)) tvoří skupinu, která je uzavřeno maticovým množením, a proto je podle definice zřetězení více rotací samo o sobě rotací.
Proto jsme prokázali Eulerovu větu rotace.