Nejlepší odpověď
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ značka {1}
Existuje pro to vynikající důkaz a tento důkaz je ve skutečnosti tím, jak Euler poprvé prokázal tuto identitu. Samozřejmě musím svému profesorovi uznat, že mi ukázal tuto identitu. (Všechny účty Quora jsou uvedeny na kartě „Citace“ na konci této odpovědi.) Jediným kalkulem potřebným k pochopení tohoto důkazu je pravidlo napájení, které můžete stále obejít, aniž byste o tom věděli.
\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} [x ^ n] = nx ^ {n-1} \ tag * {}
Začneme malou historií matematiky. Eulerova skutečná identita není e ^ {i \ pi} + 1 = 0. Ve skutečnosti matematik Roger Cotes psal o tomto desetiletí před Eulerem, ale Euler byl slavnější, takže mu byl připsán jeho objev. Identita, která se ukázala být Eulerovým nárokem na slávu, byla ve skutečnosti
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag * {}
* Jako zábavný fakt existuje zákon nazývaný Stiglerův zákon, který stanoví, že žádný vědecký objev je pojmenována po svém původním objeviteli. Tento zákon samozřejmě nejprve navrhl Robert Merton. Mezi příklady tohoto zákona patří Eulerova identita objevená Rogerem Cotesem, Hubbleův zákon odvozený od George Lemaitre a Pythagorova věta objevená babylonskými matematiky mnohem dříve než Pythagoras. Zpět na odpověď.
Tento problém byl mnohem dříve než Euler, ale vyřešil se až po něm. V té době matematici jako Jacob Bernoulli, Johan Bernoulli, Leibniz a John Wallis pracovali na problému mnohem dříve než Euler, ale nedokázali přijít s přesnou hodnotou daného problému. Ve skutečnosti se tento problém začal tak zvětšovat, že dostal své vlastní jméno: Basilejský problém.
Abychom prokázali, že se Eulerova suma v první řadě sblíží, musíme jej z toho přepsat
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} … \ značka {1}
k tomu.
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
Jedná se zjevně o stejné věci, ale jsou vyjádřeny odlišně. Za chvíli vám ukážu, proč je zde (2) užitečnější než (1).
Vezměte (2) a poté to změňte. Protože je velmi obtížné vyjádřit slovy, musím vám to ukázat:
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
\ naznačuje
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
Takže jsme změnili hodnotu nekonečného součtu, nebojte se, nesnažím se kolem vás posouvat věci. Pojďme analyzovat (3).
Tato nová řada se zdá být větší než (2). První člen v obou (2) a (3) je zjevně stejný. Druhý člen v (3) je určitě větší než (2) a vidíme, že tento proces pokračuje do nekonečna. To znamená, že pokud tato řada (3) konverguje, pak i druhá (2).
Takže tato část nemusí být pro většinu lidí zřejmá, což je v pořádku; ani na první pohled mi to nebylo zřejmé.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
Řadu odřízneme po prvních 4 termínech a najdeme částečný součet.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 \ tag * {}
Pro ty, kteří to nevědí, lze tuto sérii přepsat jako:
\ dfrac {1} {1} + \ left (\ dfrac 1 1- \ dfrac 1 2 \ right) + \ left (\ dfrac 1 2 – \ dfrac 1 3 \ right) + \ left (\ dfrac 1 3- \ dfrac 1 4 \ right) \ tag * {}
Edit:
Dostal jsem otázku, jak se můžeme dostat k nové sérii, a to byla moje odpověď:
* Pokud víte, jak přejděte k tomuto kroku, pak můžete přeskočit tuto další citovanou sekci.
Ano, k tomuto kroku se můžete dostat částečným rozšířením zlomku. Série v její aktuální podobě je tato:
1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ dfrac {1} {n (n + 1)} \ tag * { }
Můžete předpokládat, že vnitřek součtu může být reprezentován funkcí reálných čísel nebo funkcí x, rozšířených do dvou nových zlomků,
\ dfrac {1 } {x (x + 1)} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x + 1} \ tag * {}
Násobení společným jmenovatelem,
1 = A (x + 1) + B (x) \ tag * {}
Protože x \ in \ mathbb R, necháme x = 0 a najdeme A = 1 .Podobně, nechat x = -1 nám dává B = -1, takže můžeme přepsat argument součtu jako
1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (\ dfrac {1} {n} – \ dfrac {1} {n + 1} \ right) \ tag * {}
Přidání je asociativní, přepište tedy tento částečný součet:
\ left (\ dfrac 1 1+ \ dfrac 1 1 \ right) + \ left (- \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ right) + \ left (- \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ right ) – \ dfrac 1 4 \ tag * {}
Který pak bude triviální.
2- \ dfrac 1 4 \ tag * {}
My Nyní se vrátím k naší nekonečné řadě (3) a nahraďte první 4 výrazy výrazem 2- \ frac 1 4 a uvidíte, co se odtud stane.
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5 \ cdot \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6 \ cdot \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
Pomocí triku, který jsme použili dříve,
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4- \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5- \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6- \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
A nyní se hodnota tohoto nekonečného součtu projeví.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … = 2 \ tag * {}
Skvělé! Nyní tedy víme, že dotyčná částka konverguje na hodnotu menší než 2. Pro ty zvědavé, \ frac {\ pi ^ 2} {6} \ přibližně 1,644.
Nyní můžeme začít dokazovat Eulerova skutečná identita:
Předpokládejme, že \ sin x lze vyjádřit jako nějaký nekonečný polynom.
\ sin x = a + bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}
Nyní můžeme najít všechny termíny polynomu triviálně. Začněte tím, že necháte x = 0
\ sin 0 = a + b0 + c0 ^ 2 + d0 ^ 3 … \ tag * {}
0 = a \ tag * { }
Takže náš nový nekonečný polynom se pak stane
\ sin x = bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}
Diferenciace obou stran
\ cos x = b + 2cx + 3dx ^ 2 … \ tag * {}
Nastavení x = 0,
1 = b \ tag * {}
Diferenciace a nastavení x = 0 nám dává nekonečný polynom pro \ sin x. Pokud jste v tom pokračovali navždy, nakonec dospějete k závěru, že
\ sin x = 0 + 1x- \ dfrac {1} {2 \ cdot 3} x ^ 3 + … \ tag * {}
Což zjednodušuje
\ sin x = \ dfrac {x} {1!} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} … \ tag * {}
Takže jsme právě obnovili Maclaurin Series pro \ sin x. Omlouvám se, ale cítil jsem potřebu zahrnout do toho důkaz, protože stejně již dokazujeme další věci.
I když je to určitě životaschopné rozšíření pro \ sin x, Euler zvolil jiný přístup. Podívejte se na graf \ sin x, \, x \ v [- \ pi, \ pi]. Víme, že na x = – \ pi, \, 0, \, \ pi existují nuly, takže pokud bychom měli modelovat tento graf, můžeme napsat kubickou funkci s nulami na – \ pi, \, 0, \, \ pi.
f (x) = x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}
Který vypadá takto:
Samozřejmě to vůbec nevypadá jako f (x) = \ sin x, ale můžeme to škálovat vynásobením funkce nějakou konstantou. Po mnoha hádkách vidíme, že konstanta, díky které se graf nejlépe hodí \ sin x, je \ frac {1} {\ pi ^ 2}. Podívejme se na náš nový graf
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}
Což je, i když není přesné, mnohem lepší. Pojďme zde manipulovat s naší funkcí a uvidíte, proč se to stane později.
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi -x) \ tag * {}
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi + x) \ cdot \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi- x) x \ tag * {}
f (x) = x \ left (1+ \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ left (1- \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ tag * {}
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ tag * {}
Ale neproximovali jsme celou funkci. K tomu budeme muset určit nové členy, které přidají nové nuly na x = 2 \ pi, \, – 2 \ pi. Algebru už neukážu a můžete ji libovolně ověřit, ale naše nová funkce se stane:
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ tag * {}
A po tomto vzor přidávání nových výrazů pro získání našich nových nul, naše nová funkce dokonale modeluje funkci \ sin x.
f (x) = \ sin x = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag {4}
A tady jsou grafy vedle sebe.
* I když nejsou přesné, jedná se o graf napsaný na 7 výrazů . Omlouvám se, že jsem nemohl jít ven až do nekonečna, ale neměl jsem celou noc. To však bude stačit, protože jeho účelem bylo ukázat podobnosti mezi tímto grafem a \ sin x.
Dostáváme se tam, takže se připravte! Pokud chcete, klikněte dál od této odpovědi a zjistěte, zda odtud můžete jít až do konce. Hodně štěstí, pokud ano!
Budeme se podrobovat čistému mučení, takže se rozmnožte (4). Přeskočím algebru, protože tu nejsme, abychom se zbláznili.
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right ) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag {4}
f (x) = \ left (x- \ dfrac {x ^ 3} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag * {}
f (x) = \ left (x + \ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3 + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ vpravo) \ vlevo (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ vpravo) …\ tag * {}
Odtud se zaměříme výhradně na koeficient výrazu x ^ 3, tak ho pojďme orámovat.
f (x) = \ left (x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3} + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ vpravo) \ vlevo (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} … \ right) \ tag * {}
Dobře, vynásobme následující výraz prvním výrazem. Opět vás ušetřím od algebrických bitů.
x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} \ vpravo) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}
Takže odtud je celkem jasné, jak bude vypadat koeficient na x ^ 3. Už nemusíme dělat žádnou algebru, protože se můžeme řídit vzorem a předpokládat, že se to bude dít u každého termínu. Poté porovnáme tento nekonečný součet s naší řadou Maclaurinů pro \ sin x.
\ sin x = x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} – \ enspace … \ enspace \ right) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}
\ sin x = \ dfrac {x} {1 !} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} + \ dfrac {x ^ 9} {9!} – \ dfrac {x ^ {11}} {11!} + … \ tag * {}
Porovnáním koeficientů to zjistíme
– \ dfrac {x ^ 3} {3!} = \ Left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, … \ right) x ^ 3 \ tag * {}
Odstraňte x ^ 3 z obou stran.
– \ dfrac {1} {3 !} = – \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, .. . \ tag * {}
Vynásobte obě strany číslem -1:
\ dfrac {1} {3!} = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} + \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} { (5 \ pi) ^ 2} + … \ tag * {}
Vynásobte \ pi ^ 2
\ dfrac {\ pi ^ 2} {3!} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} { 5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
Vyhodnoťte 3! a je to zde:
\ dfrac {\ pi ^ 2} {6} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1 } {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
Eulerova skutečná identita.
Citace:
Můj profesor: Tan Nguyen
Odpověď
Ó člověče, úplně jsi to zkazil! Takto otázku nekladete, přijďte na !
Ptáte se jí takto: Co je
\ displaystyle \ lim\_ {n \ to \ infty} e ^ {- n} \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} \, \, \ text {?}
A pak si sednete a užíváte si podívanou všech, kteří říkají, že je to zjevně 1, a oni vám vysvětlí proč, a je tak jasné, že to tak není Dokonce nevyžadují důkaz, ale stejně je požádáte, aby to dokázali, a oni to zkusí a neuspějí (nebo ještě hůře: uspějí), a zeptáte se jich, jestli si stále myslí, že je to 1, a oni řeknou ano, ale část důvěry je pryč, a hrajete je tak dlouho, jak vás to potěší, dokud je nebudete informovat, že mají přesně 100\% slevu.
Takže, proč si každý myslí, že tento limit se rovná 1, a proč to není pravda a proč je to vlastně \ frac {1} {2}?
No, pro n velmi velký je součet \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} e ^ n. Že jo? Je to jen Taylorova řada exponenciální funkce. Takže to vynásobíme e ^ {- n} a dostaneme jen asi 1, a když necháme n růst, bude to stále přesnější, takže limit musí být jednoduše 1. Myslím to má .
Správně?
Špatně.
Takže co se tady děje? Možná se budete cítit trochu nepříjemně z toho Taylorova podnikání. Myslím, jistě, součet
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {x ^ k} {k!}
Je částečný součet Taylora řada e ^ x, takže její limit pro pevné x jako n \ až \ infty je skutečně e ^ x. Ale tady děláme něco trochu podezřelého: žádáme n, aby provedl dvojí povinnost jako rozsah součtu i proměnnou mocninové řady.
V každém případě by měla být jasná jedna věc: výrok
\ displaystyle e ^ n =? = \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {k = 0} ^ {n} \ frac {n ^ k} {k!}
nedává vůbec smysl. Proměnná n je na levé straně volná a na pravé straně vázaná.
Dobře. Ta naivní interpretace je tedy mimo okno. Jak hodnotíme tento limit?
Existuje krásný, mistrovský způsob, jak to vyřešit, což je téměř klam. Vypadá to takto: toto je přesně omezující pravděpodobnost, že náhodná Poissonova proměnná s parametrem \ lambda = n bude menší, než její očekávání. Taková proměnná je distribuována stejně jako součet n nezávislých Poissonových proměnných s parametrem \ lambda = 1 a takový součet (normalizovaný svou odchylkou \ sqrt {n}, na kterém zde nezáleží) konverguje v distribuci na normální rozdělení. Jaká je pravděpodobnost, že normální náhodná proměnná bude menší než její průměr? Proč je to \ frac {1} {2}, samozřejmě. Hotovo. QED.
Počkat, co?
Ano, opravdu. Pokud víte o centrální limitní větě, je to přesně to, co říká, když vezmete náhodné proměnné X\_1, X\_2, \ ldots, z nichž každá je Poisson (1). Dobré, rutinní cvičení při aplikaci CLT na náhodné Poissonovy proměnné.
Ale co když nevíte o CLT nebo vás jen nenapadlo interpretovat tento limit jako pravděpodobnost?
Pak je to, upřímně řečeno, docela těžký problém. CLT je mocná věta, která skrývá docela dost teorie a nabízí ji prakticky zdarma. Bez toho jste tady sami a já nevím, jak to snadno dokázat. Jsou potřeba některé chytré integrální manipulace a transformace.