Bedste svar
Da rør er cyllindrisk, kan vi gå efter cyllindriske koordinater. Overvej røraksen, der skal tildeles i z-retningen. Tyngdekraften virker i negativ y-retning. Og der er ingen strøm i x retning. Antag, at vi anvender tryk p1 ved indgang og p2 ved udgang. (p1> p2).
Flow betragtes som laminar, dvs. Reynolds-tal er 000, er fuldt udviklet betyder, at der ikke er nogen variation i hastighed langs z-retning, og er ukomprimerbar.
For ethvert inkomprimerbart flow (Mach-nummer ,3), bevarelse af masseligning giver,
\ nabla \ cdot \ mathbf V = 0
Navier-Stokes sætning for ukomprimerbar – newtonsk (konstant viskositet ) flow er,
ρ * (\ dfrac {\ partial V} {\ partial t} + (\ mathbf V \ cdot \ nabla) * V) = – \ nabla p + ρ \ cdot \ vec g + μ * \ nabla ^ 2 V
Så massebalance i cyllindrisk koordinat vil være:
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial ( rV (r))} {\ partial r} + \ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial (V (θ))} {\ partial θ} + \ dfrac {\ partial (V (z) )} {\ partial z} = 0
hvilket giver,
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial (rV (r))} {\ delvis r} = 0
da der ikke er nogen hastighed i θ retning og ingen flow i z- retning.
Så
rV (r) er en konstant, nu ved r = R, V (r) = 0 (på grund af skridsikker tilstand, en eksperimentel kendsgerning), antyder V (r) = 0 overalt, da konstanten er nul.
Nu er
tyngdekraften i y-retning:
\ hat \ jmath = sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ)
Hvilket giver, -g \ hat \ jmath = -g (sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ))
Skriver nu r- momentumligning:
0 = – \ dfrac {\ partial p} {\ partial r} + -ρgsinθ
skrivning θ momentumligning
0 = – \ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial p} {\ partial θ} + -ρgcosθ
Ved at kombinere disse to ligninger får vi,
p = – ρgy + f (z)
Skriver nu den endelige z momentumligning:
ρ * (\ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial t } + V (r) \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r} + \ dfrac {V (θ)} {r} \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial θ} + \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial z} = – \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} + ρg (z) + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial ( r \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r})} {\ partial r} + 0 + 0)
Sidste to udtryk er 0, fordi flow er aksesymmetrisk og er fuldt udviklet.
At tage alle antagelser i betragtning, og tyngdekraften er ikke i z retning, denne ligning bliver reduceret til:
– \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial (r \ dfrac {\ partial V (z )} {\ partial r})} {\ partial r}) = 0
– \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} = \ dfrac {\ delta p} {L}
hvor L er rørets længde.
så
\ dfrac {\ delta p} {L} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial (r \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r})} {\ partial r}) = 0
Grænsetilstand er V (z) ved z = R og z = 0 vil være 0 (ingen glidebetingelse),
Så hastighedsprofilen i røret kan beregnes som en funktion af r,
V i z-retning som en funktion af r,
V (r) = \ dfrac {\ delta p} {μL} \ cdot R ^ 2/4 [1-r ^ 2 / R ^ 2]
som er en parabolisk profil.
Volumetrisk strømningshastighed Q kan beregnes som følger:
Q = \ int V \ cdot \ hat n \, dA
som giver,
Q = \ dfrac {π * δP * R ^ 4} {8 * μ * L}
Nu hvad angår dit spørgsmål, tror jeg, hvis du overvejer kun laminært regime, kan vi anvende ovenstående formel til at beregne trykket inde i røret.
Håber th er hjælper!
Svar
Dit spørgsmål er ret mærkeligt. Trykket i et rør afhænger af faktorer, der ligger ud over dimensionerne for et rør. I det væsentlige er tryk kraft pr. Arealeenhed. Mens du kan få en ligning for det indre overfladeareal af et rør, som er et simpelt geometrisk problem, uden kendskab til den type gas eller væske, du ville skubbe gennem røret, ville du stadig ikke være i stand til at bestemme trykket inde ville også have brug for at kende stoffets volumen såvel som dets tilsigtede strømningshastigheder, som du alle skal overveje, der skaber en kraft, og derefter deler du det indre overfladeareal for trykket