Mejor respuesta
Sabemos que \ pi = \ frac {C} {d} donde C y d son la circunferencia y el diámetro de cualquier círculo (respectivamente).
Es fácil ver que \ pi no es un número entero. Una forma de hacer esto es simplemente hacer un círculo, usando una taza, por ejemplo. Mide la circunferencia con una cuerda y luego calcula la longitud de la cuerda con una regla. También mida el diámetro. Pronto deberías creer que \ pi es más de 3 pero menos de 4. También puedes convencerte de que \ pi no depende del tamaño del círculo.
También puedes tomar una hoja de metal ( o cartón mojado funcionaría) y recorta dos formas: una es un cuadrado con un lado de longitud 1. La otra es un círculo con radio 1. Encontrarás (si tienes una escala sensible) que el círculo pesa alrededor de 3,14 veces más como el cuadrado. La proporción de los pesos es (idealmente) \ pi.
Al usar el método de agotamiento de Arquímedes ( Método de Arquímedes «) puedes ( como lo hizo Arquímedes) concluyó que \ pi es menos de 3 \ frac {1} {7} pero más de 3 \ frac {10} {71}.
Ahora sabemos que \ pi no es un número entero . Puede ser un decimal periódico (un número racional) o un decimal no periódico. De hecho, es un decimal no periódico. A estos números los llamamos irracionales. No puedo encontrar una prueba realmente elemental de que \ pi sea irracional, pero este es al menos muy corto y solo usa cálculo: Una prueba simple de que $ \ pi $ es irracional .
Esto podría responder tu pregunta.
Pero tal vez te refieres a «¿hay alguna descripción algebraica natural de \ pi que use un número finito de números enteros?» La forma más natural de formalizar esto es suponer que \ pi podría ser la solución de un polinomio con coeficientes racionales. El número \ sqrt {2}, por ejemplo, es irracional, pero tiene una descripción breve usando números enteros. Es una solución al ecuación
x ^ 2-2 = 0.
Entonces, aunque \ sqrt {2} es irracional, podría estar codificado sucintamente como (1,0, -2), el coeficientes de x ^ 2 + 0x-2.
Los números que se pueden nombrar de esta manera usando números enteros se denominan “algebraicos” ( Número algebraico – Wikipedia ).
Resulta que \ pi ni siquiera es algebraico; es un número trascendental ( Número trascendental – Wikipedia ) .
El argumento de que \ pi es trascendental es fácil si acepta el Teorema de Lindemann-Weierstrass – Wikipedia . Este teorema implica que siempre que \ alfa es un número algebraico, el número e ^ \ alpha es trascendental. Si \ pi fuera algebraico, entonces \ pi i también lo sería ( ¿Cómo demostrar que la suma y el producto de dos números algebraicos es algebraico? ). Pero según la identidad de Euler, e ^ {\ pi i} = -1. Tenga en cuenta que -1 no es trascendental. Por lo tanto, \ pi no es algebraico.
Respuesta
En el siglo XVIII, Johann Heinrich Lambert demostró que el número π (pi) es irracional. Es decir, no se puede expresar como una fracción a / b , donde a es un número entero y b es un número entero distinto de cero. En el siglo XIX, Charles Hermite encontró una prueba que no requiere ningún conocimiento previo más allá del cálculo básico. Tres simplificaciones de la prueba de Hermite se deben a Mary Cartwright, Ivan Niven y Bourbaki. Otra prueba, que es una simplificación de la prueba de Lambert, se debe a Miklós Laczkovich. En 1882, Ferdinand von Lindemann demostró que π no solo es irracional, sino también trascendental.
Prueba de Lambert
En 1761, Lambert demostró que π es irracional al mostrar primero que esta expansión continua de fracción se cumple:
Entonces Lambert demostró que si x es distinto de cero y racional, entonces esta expresión debe ser irracional. Dado que tan (π / 4) = 1, se sigue queπ / 4 es irracional y, por lo tanto, que π es irracional.
Prueba de Hermite
Esta prueba usa la caracterización de π como el número positivo más pequeño cuya mitad es azero de la función coseno y en realidad prueba que π2 es irracional. Como en muchas pruebas de irracionalidad, el argumento procede por reductio ad absurdum.Considere las secuencias ( An ) n ≥ 0 y ( Un ) n ≥ 0 de funciones de R en R así definido:
Se puede probar por inducción que
y que
y por lo tanto
Entonces
que es equivalente a
Se sigue por inducción de esto, junto con el hecho de que A 0 ( x ) = sin ( x ) y que A 1 ( x ) = – x cos ( x ) + sin ( x ), que An ( x ) se puede escribir como Pn ( x 2) sin ( x ) + x Qn ( x 2) cos ( x ), donde Pn y Qn son funciones polinomiales con coeficientes enteros y donde el grado de Pn es menor o igual que ⌊ n / 2⌋. En particular, An (π / 2) = Pn (π2 / 4). Hermite también dio una expresión cerrada para la función An , a saber,
No justificó esta afirmación, pero se puede probar fácilmente. En primer lugar, esta afirmación es equivalente a
Procediendo por inducción, tome n = 0.
y, para el paso inductivo, considere cualquier n ∈ Z +. Si
entonces, usando la integración por partes y la regla de Leibniz, uno obtiene
Si π2 / 4 = p / q , con p y q en N , entonces, dado que los coeficientes de Pn son números enteros y su grado es menor o igual que ⌊ n / 2⌋, q ⌊ n / 2⌋ Pn (π2 / 4) es un número entero N . En otras palabras,
Pero este número es claramente mayor que 0; por lo tanto, N ∈ N . Por otro lado,
y así , si n es suficientemente grande, N . De esta manera, se llega a una contradicción. Hermite no presentó su prueba como un fin en sí mismo, sino como una ocurrencia tardía dentro de su búsqueda de una prueba de la trascendencia de π. Habló de las relaciones de recurrencia para motivar y obtener una conveniente representación integral. Una vez que se obtiene esta representación integral, hay varias formas de presentar una prueba sucinta y autónoma a partir de la integral (como en las presentaciones de Cartwright, Bourbaki o Niven), que Hermite pudo ver fácilmente (como hizo en su prueba de la trascendencia de e ). Además, la prueba de Hermite está más cerca de la prueba de Lambert de lo que parece. De hecho, An ( x ) es el «residuo» (o «resto») de la fracción continua de Lambert para tan ( x ).
Prueba de Laczkovick
La demostración de Miklós Laczkovich es una simplificación de la demostración original de Lambert. Considera las funciones
Estas funciones están claramente definidas para todas las x ∈ R .Además de
Reclamación 1: Las siguientes relaciones de repetición se mantienen:
Prueba: Esto se puede probar comparando los coeficientes de las potencias de x . Reclamación 2: para cada x ∈ R ,
Prueba: De hecho, la secuencia x 2 n / n ! está acotado (ya que converge a 0) y si C es un límite superior y si k 1, luego
Afirmación 3: Si x ≠ 0 y si x 2 es racional , luego
Prueba: De lo contrario, habría un número y ≠ 0 y enteros a y b tal que fk ( x ) = ay y fk + 1 ( x ) = de . Para ver por qué, tome y = fk + 1 ( x ), a = 0 y b = 1 si fk ( x ) = 0; de lo contrario, elija números enteros a y b tales que fk + 1 ( x ) / fk ( x ) = b / a y define y = fk ( x ) / a = fk + 1 ( x ) / b . En cada caso, y no puede ser 0, porque de lo contrario se seguiría de la reivindicación 1 que cada fk + n ( x ) ( n ∈ N ) sería 0, lo que contradeciría la afirmación 2. Ahora, tome un número natural c tal que los tres números bc / k , ck / x 2 y c / x 2 son números enteros y considera la secuencia
Entonces
Por otro lado, de la reivindicación 1 se sigue que
que es una combinación lineal de gn + 1 y gn con coeficientes enteros. Por lo tanto, cada gn es un múltiplo entero de y . Además, de la afirmación 2 se desprende que cada gn es mayor que 0 (y, por lo tanto, gn ≥ | y |) si n es lo suficientemente grande y que la secuencia de todos gn «s converge a 0. Pero una secuencia de números mayor o igual que | y | no puede converger a 0. Dado que f 1/2 (π / 4) = cos (π / 2) = 0, de la afirmación 3 se deduce que π2 / 16 es irracional y por lo tanto π es irracional. Por otro lado, desde
otra consecuencia de la afirmación 3 es que, si x ∈ Q \ {0}, entonces tan x es irracional. La demostración de Laczkovich se trata realmente de la función hipergeométrica. De hecho, fk ( x ) = 0 F 1 (k; – x 2) y Gauss encontró una expansión fraccionaria continua de la función hipergeométrica usando su ecuación funcional. Esto permitió a Laczkovich encontrar una prueba nueva y más simple del hecho de que la función tangente tiene la expansión fraccionaria continua que Lambert había descubierto.El resultado de Laczkovich también se puede expresar en funciones de Bessel del primer tipo J ν ( x ). De hecho, Γ ( k ) Jk – 1 (2 x ) = xk – 1 fk ( x ). Entonces el resultado de Laczkovich es equivalente a: If x ≠ 0 y si x 2 es racional, entonces