Beste antwoord
We weten dat \ pi = \ frac {C} {d} waarbij C en d de omtrek en diameter zijn van een cirkel (respectievelijk).
Het is gemakkelijk te zien dat \ pi geen geheel getal is. Een manier om dit te doen is door simpelweg een cirkel te maken, bijvoorbeeld met een kopje. Meet de omtrek met een touwtje en bereken vervolgens de lengte van het touwtje met een liniaal. Meet ook de diameter. Je zou snel moeten geloven dat \ pi meer is dan 3 maar minder dan 4. Je zou jezelf er ook van kunnen overtuigen dat \ pi niet afhankelijk is van de grootte van de cirkel.
Je kunt ook een metalen plaat nemen ( of nat karton zou werken) en knip twee vormen uit: de ene is een vierkant met zijlengte 1. De andere is een cirkel met straal 1. Je zult zien (als je een gevoelige weegschaal hebt) dat de cirkel ongeveer 3,14 keer zo zwaar is als het vierkant. De verhouding van de gewichten is (idealiter) \ pi.
Door de uitputtingsmethode van Archimedes te gebruiken ( Archimedes “-methode ) kunt u ( zoals Archimedes deed) concluderen dat \ pi kleiner is dan 3 \ frac {1} {7} maar meer dan 3 \ frac {10} {71}.
Nu weten we dat \ pi geen geheel getal is . Het kan een herhalend decimaal getal zijn (een rationaal getal) of een niet-herhalend decimaal getal. In feite is het een niet-herhalend decimaal getal. We noemen deze getallen irrationeel. Ik kan geen echt elementair bewijs vinden dat \ pi irrationeel is, maar deze is in ieder geval erg kort en gebruikt alleen calculus: Een eenvoudig bewijs dat $ \ pi $ irrationeel is .
Dit zou een antwoord kunnen zijn uw vraag.
Maar misschien bedoelt u “is er een natuurlijke algebraïsche beschrijving van \ pi die eindig veel gehele getallen gebruikt.” De meest natuurlijke manier om dit te formaliseren is door aan te nemen dat \ pi de oplossing zou kunnen zijn van een polynoom met rationale coëfficiënten. Het getal \ sqrt {2} is bijvoorbeeld irrationeel, maar het heeft een korte beschrijving met gehele getallen. Het is een oplossing voor de vergelijking
x ^ 2-2 = 0.
Dus hoewel \ sqrt {2} irrationeel is, kan het beknopt worden gecodeerd als (1,0, -2), de coëfficiënten van x ^ 2 + 0x-2.
Getallen die op deze manier kunnen worden benoemd met gehele getallen worden “algebraïsch” genoemd ( Algebraïsch getal – Wikipedia ).
Het blijkt dat \ pi niet eens algebraïsch is; het is een transcendentaal getal ( Transcendentaal getal – Wikipedia ) .
Het argument dat \ pi transcendentaal is, is eenvoudig als je de stelling van Lindemann – Weierstrass – Wikipedia accepteert. Deze stelling impliceert dat wanneer \ alpha is een algebraïsch getal, het getal e ^ \ alpha is transcendentaal. Als \ pi algebraïsch zou zijn, dan zou \ pi i dat ook zijn ( Hoe te bewijzen dat de som en het product van twee algebraïsche getallen algebraïsch is? ). Maar volgens de identiteit van Euler, e ^ {\ pi i} = -1. Merk op dat -1 niet transcendentaal is. Daarom is \ pi niet algebraïsch.
Antwoord
In de 18e eeuw bewees Johann Heinrich Lambert dat het getal π (pi) irrationeel is. Dat wil zeggen, het kan niet worden uitgedrukt als een breuk a / b , waarbij a is een geheel getal en b is een geheel getal dat niet gelijk is aan nul. In de 19e eeuw vond Charles Hermite een bewijs dat geen vereiste kennis vereist buiten de basisrekening. Drie vereenvoudigingen van Hermites bewijs zijn te danken aan Mary Cartwright, Ivan Niven en Bourbaki. Een ander bewijs, dat een vereenvoudiging is van Lamberts bewijs, is te danken aan Miklós Laczkovich. In 1882 bewees Ferdinand von Lindemann dat π niet alleen irrationeel is, maar ook transcendentaal.
Lamberts Proof
In 1761 bewees Lambert dat π irrationeel is door eerst aan te tonen dat deze continue breukuitbreiding geldt:
Vervolgens bewees Lambert dat als x niet-nul en rationeel is, deze uitdrukking irrationeel moet zijn. Aangezien tan (π / 4) = 1 volgt daaruit datπ / 4 irrationeel is en daarom dat π irrationeel is.
Hermites Proof
Dit bewijs gebruikt de karakterisering van π als het kleinste positieve getal waarvan de helft a nul is van de cosinusfunctie en het bewijst feitelijk dat π2 irrationeel is. Zoals in veel bewijzen van irrationaliteit, gaat het argument verder met reductio ad absurdum.Beschouw de reeksen ( An ) n ≥ 0 en ( Un ) n ≥ 0van functies van R naar R aldus gedefinieerd:
Door inductie kan worden aangetoond dat
en dat
en daarom dat
Dus
wat gelijk is aan
Hieruit volgt een inductie, samen met het feit dat A 0 ( x ) = sin ( x ) en dat A 1 ( x ) = – x cos ( x ) + sin ( x ), dat An ( x ) kan worden geschreven als Pn ( x 2) sin ( x ) + x Qn ( x 2) cos ( x ), waarbij Pn en Qn polynoomfuncties zijn met coëfficiënten van gehele getallen en waarbij de graad van Pn kleiner is dan of gelijk is aan ⌊ n / 2⌋. In het bijzonder An (π / 2) = Pn (π2 / 4). Hermite gaf ook een gesloten uitdrukking voor de functie An , namelijk
Hij rechtvaardigde deze bewering niet, maar het kan eenvoudig worden bewezen. Allereerst is deze bewering gelijk aan
Ga verder door inductie en neem n = 0.
en beschouw voor de inductieve stap elke n ∈ Z +. Als
dan, gebruikmakend van integratie door onderdelen en de regel van Leibniz, één krijgt
If π2 / 4 = p / q , met p en q in N , aangezien de coëfficiënten van Pn zijn gehele getallen en de graad ervan is kleiner dan of gelijk aan ⌊ n / 2⌋, q ⌊ n / 2⌋ Pn (π2 / 4) is een geheel getal N . Met andere woorden,
Maar dit aantal is duidelijk groter dan 0; daarom N ∈ N . Aan de andere kant,
en zo , als n groot genoeg is, N . Daardoor wordt een tegenstrijdigheid bereikt. Hermite presenteerde zijn bewijs niet als een doel op zich, maar als een bijzaak in zijn zoektocht naar een bewijs van de transcendentie van π. Hij besprak de herhalingsrelaties om te motiveren en om een gemakkelijke integrale representatie te verkrijgen. Zodra deze integrale weergave is verkregen, zijn er verschillende manieren om een beknopt en op zichzelf staand bewijs te presenteren, uitgaande van de integraal (zoals in Cartwrights, Bourbakis of Nivens presentaties), die Hermite gemakkelijk zou kunnen zien (zoals hij deed in zijn bewijs van de transcendentie van e ). Bovendien ligt het bewijs van Hermite dichter bij het bewijs van Lambert dan het lijkt. In feite Een ( x ) is het “residu” (of “rest”) van Lamberts kettingbreuk voor tan ( x ).
Laczkovick “s Proof
Miklós Laczkovichs bewijs is een vereenvoudiging van Lamberts oorspronkelijke bewijs. Hij beschouwt de functies
Deze functies zijn duidelijk gedefinieerd voor alle x ∈ R .Bovendien
Claim 1: De volgende herhalingsrelaties bevatten:
Bewijs: dit kan worden bewezen door de coëfficiënten van de machten van x te vergelijken. Claim 2: voor elke x ∈ R ,
Bewijs: In feite is de reeks x 2 n / n ! is begrensd (aangezien het convergeert naar 0) en als C een bovengrens is en als k 1, daarna
Claim 3: Als x ≠ 0 en als x 2 rationeel is , dan
Bewijs: Anders zou er een getal zijn y ≠ 0 en gehele getallen a en b zodanig dat fk ( x ) = ay en fk + 1 ( x ) = door . Om te zien waarom, neemt u y = fk + 1 ( x ), a = 0 en b = 1 if fk ( x ) = 0; kies anders de gehele getallen a en b zodanig dat fk + 1 ( x ) / fk ( x ) = b / a en definieer y = fk ( x ) / a = fk + 1 ( x ) / b . In elk geval kan y niet 0 zijn, omdat anders uit claim 1 zou volgen dat elke fk + n ( x ) ( n ∈ N ) zou 0 zijn, wat in tegenspraak is met claim 2. Neem nu een natuurlijk getal c zodat alle drie de getallen bc / k , ck / x 2 en c / x 2 zijn gehele getallen en beschouwen de reeks
Dan
Aan de andere kant volgt uit conclusie 1 dat
wat een lineaire combinatie is van gn + 1 en gn met integer coëfficiënten. Daarom is elke gn een geheel veelvoud van y . Bovendien volgt uit conclusie 2 dat elke gn groter is dan 0 (en daarom dat gn ≥ | y |) als n groot genoeg is en dat de volgorde van alle gn “s convergeert naar 0. Maar een reeks getallen groter dan of gelijk aan | y | kan niet convergeren naar 0. Aangezien f 1/2 (π / 4) = cos (π / 2) = 0, volgt uit conclusie 3 dat π2 / 16 is irrationeel en daarom is π irrationeel. Aan de andere kant, aangezien
een ander gevolg van conclusie 3 is dat, als x ∈ Q \ {0}, tan x is irrationeel. Het bewijs van Laczkovich gaat eigenlijk over de hypergeometrische functie. In feite fk ( x ) = 0 F 1 (k; – x 2) en Gauss vond een continue breukuitbreiding van de hypergeometrische functie met behulp van zijn functionele vergelijking. Hierdoor kon Laczkovich een nieuw en eenvoudiger bewijs vinden van het feit dat de raaklijnfunctie de voortdurende breukuitbreiding heeft die Lambert had ontdekt.Het resultaat van Laczkovich kan ook worden uitgedrukt in Bessel-functies van de eerste soort J ν ( x ). In feite Γ ( k ) Jk – 1 (2 x ) = xk – 1 fk ( x ). Dus het resultaat van Laczkovich is gelijk aan: If x ≠ 0 en als x 2 rationeel is, dan