Mikä on intuitiivinen selitys seuraavalle matemaattiselle tosiseikalle: [matematiikka] \ displaystyle \ summa\_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ 2}} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ math]?

Paras vastaus

\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tunniste {1}

Tästä on erinomainen todiste, ja tämä todiste on se, miten Euler todisti ensimmäisen kerran tämän henkilöllisyyden. Tietysti minun täytyy kiittää professoriani siitä, että hän on osoittanut minulle tämän identiteetin. (Kaikki Quora-tilit on lueteltu tämän vastauksen lopussa olevassa Sitaatit-välilehdessä.) Lopuksi ainoa laskelma, joka vaaditaan tämän todistuksen ymmärtämiseksi, on tehosääntö, jonka voit silti saada tietämättä.

\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} [x ^ n] = nx ^ {n-1} \ tag * {}

Aloitamme vähän matematiikan historiasta. Eulerin todellinen henkilöllisyys on ei e ^ {i \ pi} + 1 = 0. Itse asiassa Roger Cotes -niminen matemaatikko kirjoitti tästä vuosikymmeniä ennen Euleria, mutta Euler oli tunnetumpi, joten hänet hyvitettiin sen löytämisestä. Identiteetti, joka osoittautui Eulerin kuuluisuuteen, oli itse asiassa

\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag * {}

* Hauskana tosiasiana on laki, nimeltään Stiglerin laki, jonka mukaan ei tieteellisiä löytöjä on nimetty alkuperäisen löytäjänsä mukaan. Tietysti johdonmukaisuuden vuoksi Robert Merton ehdotti ensin tätä lakia. Esimerkkejä tästä laista ovat Roger Cotesin löytämä Eulerin identiteetti, Hubbles Law, joka on johdettu George Lemaitreista, ja Pythagorean lause, jonka Babylonian matemaatikot löysivät paljon ennen Pythagorasta. Joka tapauksessa, palaa vastaukseen.

Tämä ongelma oli jo paljon ennen Euleria, mutta se ratkaistiin vasta häneen. Tuolloin matemaatikot, kuten Jacob Bernoulli, Johan Bernoulli, Leibniz ja John Wallis, olivat työskennelleet ongelman kanssa paljon ennen Euleria, mutta eivät pystyneet keksimään tarkkaa arvoa kyseiselle ongelmalle. Itse asiassa tästä ongelmasta alkoi tulla niin suuri, että se sai oman nimensä: Baselin ongelma.

Osoittaaksemme Eulerin summan lähentyvän, meidän on kirjoitettava se uudelleen tästä.

\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} … \ tag {1}

tähän.

\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}

Nämä ovat molemmat ilmeisesti samoja asioita, mutta ne ilmaistaan ​​vain eri tavalla. Näytän sinulle sekunnissa, miksi (2) on hyödyllisempi kuin (1).

Ota (2) ja muuta se sitten. Koska sitä on hyvin vaikea ilmaista sanoin, minun on vain näytettävä se sinulle:

\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}

\ merkitsee

\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}

Joten olemme muuttaneet äärettömän summan arvoa, älä huoli, en yritä siirtää tavaraa ohi. Analysoidaan (3).

Tämä uusi sarja näyttää olevan suurempi kuin (2). Sekä (2): n että (3): n ensimmäinen termi ovat ilmeisesti yhtä suuria. Kohdan (3) toinen termi on varmasti suurempi kuin (2), ja näemme, että tämä prosessi jatkuu äärettömään. Tämä tarkoittaa, että jos tämä sarja (3) lähentyy, niin myös toinen (2).

Joten tämä osa ei välttämättä ole ilmeinen useimmille ihmisille, mikä on hienoa; se ei ollut aluksi ilmeinen minulle.

\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}

Katkaistaan ​​sarja ensimmäisten 4 termin jälkeen ja löydetään osittainen summa.

\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 \ tag * {}

Niille, jotka eivät tiedä, tämä sarja voidaan kirjoittaa uudestaan ​​seuraavasti:

\ dfrac {1} {1} + \ left (\ dfrac 1 1- \ dfrac 1 2 \ right) + \ vasen (\ dfrac 1 2 – \ dfrac 1 3 \ oikea) + \ vasen (\ dfrac 1 3- \ dfrac 1 4 \ oikea) \ tag * {}

Edit:

Sain kysymyksen, jossa kysytään, miten voimme päästä uuteen sarjaan, ja tämä oli vastaukseni:

* Jos osaat päästä tähän vaiheeseen, voit ohittaa tämän seuraavan lainatun osan.

Kyllä, pääset siihen vaiheeseen osittaista murto-osaa laajentamalla. Sarja nykyisessä muodossaan on seuraava:

1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ dfrac {1} {n (n + 1)} \ tag * { }

Voit olettaa, että summan sisäpuoli voidaan esittää reaalilukujen funktiolla tai x: n funktiolla, joka on laajennettu kahteen uuteen murtoon.

\ dfrac {1 } {x (x + 1)} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x + 1} \ tag * {}

Kerrotaan läpi yhteisellä nimittäjällä,

1 = A (x + 1) + B (x) \ tag * {}

Koska x \ on \ mathbb R, annamme x = 0 ja löydämme A = 1 .Vastaavasti x = -1: n antaminen antaa meille arvon B = -1, joten voimme kirjoittaa summan argumentin uudestaan ​​seuraavasti:

1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (\ dfrac {1} {n} – \ dfrac {1} {n + 1} \ oikea) \ tag * {}

Lisäys on assosiatiivinen, joten kirjoita tämä osittainen summa uudelleen:

\ vasen (\ dfrac 1 1+ \ dfrac 1 1 \ oikea) + \ vasen (- \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ oikea) + \ vasen (- \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ oikea ) – \ dfrac 1 4 \ tag * {}

Mikä muuttuu sitten triviaaliksi.

2- \ dfrac 1 4 \ tag * {}

Me Palaan nyt takaisin äärettömään sarjaamme (3) ja korvataan ensimmäiset 4 termiä sanoilla 2- \ frac 1 4 ja katsotaan mitä siitä tapahtuu.

2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5 \ cdot \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6 \ cdot \ dfrac 1 7 … \ tag * {}

Aiemmin käyttämämme temppu,

2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4- \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5- \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6- \ dfrac 1 7 … \ tag * {}

Ja nyt ilmestyy tämän äärettömän summan arvo.

\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … = 2 \ tag * {}

Hienoa! Joten tiedämme nyt, että kyseinen summa lähentyy arvoon, joka on pienempi kuin 2. Niille uteliaille \ frac {\ pi ^ 2} {6} \ noin 1.644.

Voimme nyt alkaa todistaa Eulerin todellinen identiteetti:

Oletetaan, että \ sin x voidaan ilmaista jollakin äärettömällä polynomilla.

\ sin x = a + bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}

Voimme nyt löytää kaikki polynomin termit triviaalisesti. Aloita antamalla x = 0

\ sin 0 = a + b0 + c0 ^ 2 + d0 ^ 3 … \ tag * {}

0 = a \ tag * { }

Joten uudesta äärettömästä polynomistamme tulee sitten

\ sin x = bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}

Erotetaan molemmat puolet

\ cos x = b + 2cx + 3dx ^ 2 … \ tag * {}

Asetus x = 0,

1 = b \ tag * {}

Erottamalla ja asettamalla x = 0 saadaan ääretön polynomi \ sin x: lle. Jos jatkat tämän tekemistä ikuisesti, päädyt lopulta siihen tulokseen, että

\ sin x = 0 + 1x- \ dfrac {1} {2 \ cdot 3} x ^ 3 + … \ tag * {}

Mikä yksinkertaistuu muotoon

\ sin x = \ dfrac {x} {1!} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} … \ tag * {}

Joten olemme juuri palauttaneet Maclaurin-sarjan \ sin x: lle. Pahoittelen, mutta minusta tuntui tarpeelliselta sisällyttää siihen todisteet, koska todistamme jo muutakin.

Vaikka tämä on varmasti toteuttamiskelpoinen laajennus \ sin x: lle, Euler otti toisenlaisen lähestymistavan. Katso \ sin x, \, x \ kaavio [- \ pi, \ pi]. Tiedämme, että x = – \ pi, \, 0, \, \ pi on nollia, joten jos mallinnamme tämän kaavion, voimme kirjoittaa kuutiofunktion, jonka nollat ​​ovat – \ pi, \, 0, \, \ pi.

f (x) = x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}

Näyttää tältä:

Tämä ei tietenkään näytä lainkaan f (x) = \ sin x, mutta voimme skaalata sen kertomalla jokin vakio. Paljon vaivaa, näemme, että vakio, joka tekee kaaviosta parhaimman \ sin x, on \ frac {1} {\ pi ^ 2}. Katsotaan uusi kaavio

f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}

Mikä on parempi, vaikka se ei ole tarkka. Manipuloidaan toimintoamme täällä, ja näet, miksi näin tapahtuu myöhemmin.

f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi -x) \ tag * {}

f (x) = \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi + x) \ cdot \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi- x) x \ tag * {}

f (x) = x \ left (1+ \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ left (1- \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ tag * {}

f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ tag * {}

Mutta emme ole arvioineet koko funktiota. Tätä varten meidän on määritettävä uudet termit, jotka lisäävät uusia nollia kohtaan x = 2 \ pi, \, – 2 \ pi. En näytä algebraa uudelleen ja voit vapaasti vahvistaa sen, jos haluat, mutta uudeksi funktiollemme tulee:

f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ oikea) \ vasen (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ oikea) \ tag * {}

Ja tämän seuraaminen Uusien ehtojen lisäämisen malli uusien nollien vastaanottamiseksi uusi toiminto mallinnaa täydellisesti \ sin x: n.

f (x) = \ sin x = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ oikea) \ vasen (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ oikea) \ vasen (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ oikea) \ vasen (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ oikea) … \ tag {4}

Ja tässä ovat kaavioita vierekkäin.

* Vaikka ne eivät ole tarkkoja, tämä kaavio on kirjoitettu 7 termiin . Pahoittelen, etten voinut mennä ulos vasta äärettömään, mutta minulla ei ollut koko yön. Tämä kuitenkin riittää, koska sen tarkoituksena oli näyttää tämän kaavion ja \ sin x: n yhtäläisyydet.

Olemme menossa sinne, joten valmistaudu itse! Jos haluat, napsauta pois tästä vastauksesta ja katso, voitko mennä lopputien täältä. Onnea jos teet!

Alistamme itsemme puhtaaseen kidutukseen, joten moninkertaista (4). Ohitan algebran, koska emme ole täällä hulluksi.

f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right ) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) \ vasen (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ oikea) … \ tag {4}

f (x) = \ left (x- \ dfrac {x ^ 3} {\ pi ^ 2} \ oikea) \ vasen (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ oikea) … \ tag * {}

f (x) = \ left (x + \ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3 + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ oikea) \ vasen (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ oikea) …\ tag * {}

Seuraavassa keskitymme yksinomaan x ^ 3-termin kertoimeen, joten ruutuun.

f (x) = \ left (x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3} + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ oikea) \ vasen (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} … \ right) \ tag * {}

Okei, kerrotaan nyt seuraava termi ensimmäisellä. Jälleen säästän sinut algebrabiteistä.

x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} \ oikea) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}

Joten täältä on melko selvää miltä x ^ 3: n kerroin näyttää. Meidän ei enää tarvitse tehdä mitään algebraa, koska voimme vain seurata mallia ja olettaa, että sitä tapahtuu edelleen jokaisella termillä. Tämän jälkeen verrataan tätä ääretöntä summaa \ sin x: n Maclaurin-sarjaan.

\ sin x = x + \ ruudullinen {\ vasen (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} – \ kotelo … \ enspace \ right) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}

\ sin x = \ dfrac {x} {1 !} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} + \ dfrac {x ^ 9} {9!} – \ dfrac {x ^ {11}} {11!} + … \ tag * {}

Kerroinvertailulla näemme, että

– \ dfrac {x ^ 3} {3!} = \ Vasen (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, … \ right) x ^ 3 \ tag * {}

Poista x ^ 3 molemmilta puolilta.

– \ dfrac {1} {3 !} = – \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, .. . \ tag * {}

Kerro molemmat puolet -1: llä:

\ dfrac {1} {3!} = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} + \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} { (5 \ pi) ^ 2} + … \ tag * {}

Kerrotaan \ pi ^ 2

\ dfrac {\ pi ^ 2} {3!} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} { 5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}

Arvioi 3! ja siinä se on:

\ dfrac {\ pi ^ 2} {6} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1 } {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}

Eulerin todellinen henkilöllisyys.

Lainaukset:

Professorini: Tan Nguyen

Vastaa

Voi ihminen, pilasit sen kokonaan! Näin ei kysytä, tule päälle !

Kysyt näin: Mikä on

\ displaystyle \ lim\_ {n \ to \ infty} e ^ {- n} \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} \, \, \ text {?}

Ja sitten istut alas ja nautit kaikkien näytelmistä sanomalla, että se on ilmeisesti 1, ja he selittävät miksi, ja on niin selvää, että se ei Ei edes vaadita todisteita, mutta pyydät heitä todistamaan sen joka tapauksessa, ja he yrittävät, ja epäonnistuvat (tai mikä vielä pahempaa: onnistuvat), ja sinä kysyt heiltä, ​​ajattelevatko he silti, että se on 1, ja he sanovat kyllä, mutta osa luottamuksesta on kadonnut, ja pelaat niitä niin kauan kuin se miellyttää sinua, kunnes ilmoitat heille, että he ovat täsmälleen 100\% alennuksessa.

Joten miksi kaikki ajattelevat, että tämä raja on yhtä kuin 1, ja miksi se ei ole totta ja miksi onko se oikeastaan ​​\ frac {1} {2}?

No, jos kyseessä on hyvin suuri n, summa \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} on noin e ^ n. Eikö? Se on vain Taylor-sarja eksponentiaalifunktiota. Joten sitten kerrotaan se luvulla e ^ {- n} ja saadaan vain noin 1, ja kun annamme n: n kasvaa, tämä vain tulee yhä tarkemmaksi, joten rajan on oltava yksinkertaisesti 1. Tarkoitan sitä on .

Eikö?

Väärä.

Joten mikä tässä on vikaa? No, saatat tuntea itsesi hieman epämukavaksi tuosta Taylor-liiketoiminnasta. Tarkoitan varmasti summaa

\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {x ^ k} {k!}

On osittainen summa Taylorista e ^ x -sarja, joten sen raja kiinteälle x: lle n \ to \ infty on todellakin e ^ x. Mutta täällä teemme jotain hieman epäilyttävää: pyydämme n: tä suorittamaan kaksinkertaisen tehtävän sekä tehosarjojen summausalueena että muuttujana.

Yksi asia on joka tapauksessa oltava selvä: lauseke

\ displaystyle e ^ n =? = \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {k = 0} ^ {n} \ frac {n ^ k} {k!}

ei ole mitään järkeä. Muuttuja n on vasemmalla puolella vapaa ja sidottu oikealle.

Ok. Joten tämä naiivi tulkinta on ulkona. Kuinka arvioimme tuon rajan?

On melkoinen, kätevä tapa ratkaista tämä. Se menee näin: tämä on tarkalleen rajallinen todennäköisyys satunnaiselle Poissonin muuttujalle parametrilla \ lambda = n olla pienempi kuin sen odotukset. Tällainen muuttuja jakautuu aivan kuten n itsenäisen Poisson-muuttujan summa parametrilla \ lambda = 1, ja tällainen summa (normalisoitu sen varianssilla \ sqrt {n}, jolla ei ole väliä tässä) yhtyy jakautumiseen normaaliksi jakelu. Mikä on todennäköisyys, että normaali satunnaismuuttuja on pienempi kuin keskiarvo? Miksi se on tietysti \ frac {1} {2}. Tehty. QED.

Odota, mitä?

Kyllä, todella. Jos tiedät Central Limit Theorem, tämä on juuri se, mitä sanotaan, jos otat satunnaismuuttujia X\_1, X\_2, \ ldots, joista kukin on Poisson (1). Hyvä, rutiiniharjoitus CLT: n soveltamisessa satunnaisiin Poisson-muuttujiin.

Mutta entä jos et tiedä CLT: stä tai sinun ei vain ajatellut tulkitsevan tätä rajaa todennäköisyydeksi?

Silloin se on rehellisesti sanottuna melko kova ongelma. CLT on tehokas lause, joka kätkee melko vähän teoriaa ja tarjoaa sen käytännössä ilmaiseksi. Ilman sitä olet täällä yksin, enkä tiedä todella helppoa tapaa todistaa tämä. Tarvitaan joitain älykkäitä integraalisia manipulaatioita ja muunnoksia.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *