Meilleure réponse
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag {1}
Il y a une excellente preuve pour cela, et cette preuve est en fait comment Euler a prouvé cette identité pour la première fois. Bien sûr, je dois remercier mon professeur de mavoir montré cette identité. (Tous les comptes Quora sont répertoriés dans longlet «Citations» à la fin de cette réponse) Enfin, le seul calcul nécessaire pour comprendre cette preuve est la règle de puissance, que vous pouvez toujours utiliser sans le savoir.
\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} [x ^ n] = nx ^ {n-1} \ tag * {}
Nous commençons par un peu dhistoire des mathématiques. La véritable identité dEuler est pas e ^ {i \ pi} + 1 = 0. En fait, un mathématicien nommé Roger Cotes a écrit à propos de ces décennies avant Euler, mais Euler était plus célèbre et il a donc été crédité de sa découverte. Lidentité qui sest avérée être la renommée dEuler était en fait
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag * {}
* Fait amusant, il existe une loi, appelée loi de Stigler, qui stipule quaucune découverte scientifique est nommé daprès son découvreur dorigine. Bien sûr, par souci de cohérence, cette loi a été proposée pour la première fois par Robert Merton. Des exemples de cette loi incluent l’identité d’Euler, découverte par Roger Cotes, la loi de Hubble, dérivée du théorème de George Lemaitre et de Pythagore découvert par des mathématiciens babyloniens bien avant Pythagore. Bref, revenons à la réponse.
Ce problème existait bien avant Euler mais na été résolu que lui. Des mathématiciens de lépoque comme Jacob Bernoulli, Johan Bernoulli, Leibniz et John Wallis avaient travaillé sur le problème bien avant Euler mais ne pouvaient pas trouver une valeur exacte au problème en question. En fait, ce problème a commencé à devenir si important quil a obtenu son propre nom: le problème de Bâle.
Pour prouver que la somme dEuler converge en premier lieu, nous devons la réécrire à partir de cela
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} … \ tag {1}
à ceci.
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
Ce sont évidemment les mêmes choses mais simplement exprimées différemment. Je vais vous montrer pourquoi (2) est plus utile que (1) ici dans une seconde.
Prenez (2) et changez-le. Comme il est très difficile de lexprimer avec des mots, il me suffira de vous le montrer:
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
\ implique
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
Nous avons donc changé la valeur de la somme infinie, ne vous inquiétez pas, je nessaye pas de faire glisser des choses devant vous. Analysons (3).
Cette nouvelle série semble supérieure à (2). Les premiers termes des deux (2) et (3) sont évidemment égaux lun à lautre. Le second terme de (3) est certainement supérieur à (2) et nous voyons que ce processus se poursuit à linfini. Cela signifie que si cette série (3) converge, alors lautre (2) le fait aussi.
Donc, cette partie peut ne pas être évidente pour la plupart des gens, ce qui est bien; ce nétait pas non plus évident pour moi au début.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
Nous allons couper la série après les 4 premiers termes et trouver la somme partielle.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 \ tag * {}
Pour ceux qui ne le savent pas, cette série peut être réécrite comme:
\ dfrac {1} {1} + \ left (\ dfrac 1 1- \ dfrac 1 2 \ right) + \ gauche (\ dfrac 1 2 – \ dfrac 1 3 \ droite) + \ gauche (\ dfrac 1 3- \ dfrac 1 4 \ droite) \ tag * {}
Edit:
Jai reçu une question demandant comment nous pouvons accéder à la nouvelle série, et voici ma réponse:
* Si vous savez comment allez à cette étape, alors vous pouvez sauter la section suivante citée.
Oui, vous pouvez arriver à cette étape en développant une fraction partielle. La série dans sa forme actuelle est la suivante:
1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ dfrac {1} {n (n + 1)} \ tag * { }
Vous pouvez supposer que lintérieur de la somme peut être représenté par une fonction de nombres réels, ou une fonction de x, développée en deux nouvelles fractions,
\ dfrac {1 } {x (x + 1)} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x + 1} \ tag * {}
En multipliant par un dénominateur commun,
1 = A (x + 1) + B (x) \ tag * {}
Puisque x \ in \ mathbb R, nous laisserons x = 0 et trouverons A = 1 .De même, laisser x = -1 nous donne B = -1, donc nous pouvons réécrire largument de la somme comme
1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (\ dfrac {1} {n} – \ dfrac {1} {n + 1} \ right) \ tag * {}
Lajout est associatif, alors réécrivez cette somme partielle:
\ gauche (\ dfrac 1 1+ \ dfrac 1 1 \ droite) + \ gauche (- \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ droite) + \ gauche (- \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ droite ) – \ dfrac 1 4 \ tag * {}
Ce qui devient alors trivial.
2- \ dfrac 1 4 \ tag * {}
Nous Je vais maintenant revenir à notre série infinie (3) et remplacer les 4 premiers termes par 2- \ frac 1 4 et voir ce qui se passe à partir de là.
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5 \ cdot \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6 \ cdot \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
En utilisant lastuce que nous avons utilisée précédemment,
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4- \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5- \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6- \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
Et maintenant la valeur de cette somme infinie devient apparente.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … = 2 \ tag * {}
Génial! On sait donc maintenant que la somme en question converge vers une valeur inférieure à 2. Pour les curieux, \ frac {\ pi ^ 2} {6} \ approx 1.644.
Nous pouvons maintenant commencer à prouver La véritable identité dEuler:
Supposons que \ sin x puisse être exprimé comme un polynôme infini.
\ sin x = a + bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}
Nous pouvons maintenant trouver tous les termes du polynôme de manière triviale. Commencez par laisser x = 0
\ sin 0 = a + b0 + c0 ^ 2 + d0 ^ 3 … \ tag * {}
0 = a \ tag * { }
Ainsi notre nouveau polynôme infini devient alors
\ sin x = bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}
Différencier les deux côtés
\ cos x = b + 2cx + 3dx ^ 2 … \ tag * {}
Réglage x = 0,
1 = b \ tag * {}
Différencier et définir x = 0 nous donne un polynôme infini pour \ sin x. Si vous continuez à faire cela pour toujours, vous arriverez finalement à la conclusion que
\ sin x = 0 + 1x- \ dfrac {1} {2 \ cdot 3} x ^ 3 + … \ tag * {}
Ce qui se simplifie en
\ sin x = \ dfrac {x} {1!} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} … \ tag * {}
Nous venons donc de récupérer la série Maclaurin pour \ sin x. Je mexcuse, mais jai ressenti le besoin den inclure la preuve puisque nous prouvons déjà dautres choses de toute façon.
Bien que ce soit certainement une extension viable pour \ sin x, Euler a adopté une approche différente. Jetez un œil au graphe de \ sin x, \, x \ dans [- \ pi, \ pi]. Nous savons quil y a des zéros en x = – \ pi, \, 0, \, \ pi, donc si nous devions modéliser ce graphe alors nous pouvons écrire une fonction cubique avec des zéros en – \ pi, \, 0, \, \ pi.
f (x) = x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}
Ce qui ressemble à ceci:
Bien sûr, cela ne ressemble pas du tout à f (x) = \ sin x, mais nous pouvons le mettre à léchelle en multipliant le fonction par une constante. Après de nombreuses manipulations, nous voyons que la constante qui rend le graphe le mieux ajusté \ sin x est \ frac {1} {\ pi ^ 2}. Voyons notre nouveau graphique de
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}
Ce qui est, bien que pas exact, beaucoup mieux. Manipulons notre fonction ici, et vous verrez pourquoi cela se produit plus tard.
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi -x) \ tag * {}
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi + x) \ cdot \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi- x) x \ tag * {}
f (x) = x \ left (1+ \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ left (1- \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ tag * {}
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ tag * {}
Mais nous navons pas approximé la fonction entière. Pour ce faire, nous devrons déterminer de nouveaux termes qui ajoutent de nouveaux zéros à x = 2 \ pi, \, – 2 \ pi. Je ne montrerai plus lalgèbre et vous êtes libre de la vérifier si vous le souhaitez, mais notre nouvelle fonction devient:
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ tag * {}
Et après ceci modèle dajout de nouveaux termes pour recevoir nos nouveaux zéros, notre nouvelle fonction modélise parfaitement celle de \ sin x.
f (x) = \ sin x = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag {4}
Et ici sont les graphiques côte à côte.
* Bien quils ne soient pas exacts, cest le graphique écrit en 7 termes . Je mexcuse de ne pas pouvoir sortir avant linfini, mais je nai pas eu toute la nuit. Cela suffira, cependant, puisque son but était de montrer les similitudes entre ce graphe et \ sin x.
Nous y arrivons, alors préparez-vous! Si vous le souhaitez, cliquez en dehors de cette réponse et voyez si vous pouvez faire le reste du chemin à partir dici. Bonne chance si vous le faites!
Nous allons nous soumettre à de la torture pure, alors multipliez (4). Je vais sauter lalgèbre car nous ne sommes pas là pour devenir fous.
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right ) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) \ gauche (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ droite) … \ tag {4}
f (x) = \ gauche (x- \ dfrac {x ^ 3} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag * {}
f (x) = \ gauche (x + \ gauche (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ droite) x ^ 3 + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ droite) …\ tag * {}
Nous allons nous concentrer uniquement sur le coefficient du terme x ^ 3 à partir dici, alors encadrons-le.
f (x) = \ left (x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3} + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} … \ right) \ tag * {}
Daccord, multiplions maintenant le terme suivant par le premier. Encore une fois, je vous épargnerai les bits dalgèbre.
x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} \ droite) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}
Donc, à partir de là, il est assez clair à quoi ressemblera le coefficient sur x ^ 3. Nous navons plus besoin de faire dalgèbre puisque nous pouvons simplement suivre le modèle et supposer que cela continuera à se produire pour chaque terme. Après cela, nous comparerons cette somme infinie à notre série Maclaurin pour \ sin x.
\ sin x = x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} – \ enspace … \ enspace \ right) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}
\ sin x = \ dfrac {x} {1 !} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} + \ dfrac {x ^ 9} {9!} – \ dfrac {x ^ {11}} {11!} + … \ tag * {}
Par comparaison de coefficient, nous voyons que
– \ dfrac {x ^ 3} {3!} = \ Gauche (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, … \ right) x ^ 3 \ tag * {}
Supprimez le x ^ 3 des deux côtés.
– \ dfrac {1} {3 !} = – \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, .. . \ tag * {}
Multipliez les deux côtés par -1:
\ dfrac {1} {3!} = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} + \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} { (5 \ pi) ^ 2} + … \ tag * {}
Multiplier par \ pi ^ 2
\ dfrac {\ pi ^ 2} {3!} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} { 5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
Evaluez 3! et le voici:
\ dfrac {\ pi ^ 2} {6} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1 } {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
La véritable identité dEuler.
Citations:
Mon professeur: Tan Nguyen
Réponse
Oh mec, vous lavez totalement gâté! Ce nest pas ainsi que vous posez la question, venez le !
Vous posez la question comme ceci: Quest-ce que
\ displaystyle \ lim\_ {n \ to \ infty} e ^ {- n} \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} \, \, \ text {?}
Et puis vous vous asseyez et appréciez le spectacle de tout le monde disant que cest évidemment 1, et ils expliquent pourquoi, et cest si clair que ce nest pas le cas t exigent même une preuve mais vous leur demandez de le prouver quand même, et ils essaient, et ils échouent (ou pire: réussissent), et vous leur demandez sils pensent toujours que cest 1, et ils disent oui mais une partie de la confiance est partie, et vous les jouez aussi longtemps que cela vous plaît jusquà ce que vous leur disiez quils sont exactement à 100\%.
Alors, pourquoi tout le monde pense-t-il que cette limite est égale à 1, et pourquoi ce nest pas vrai, et pourquoi est-ce réellement \ frac {1} {2}?
Eh bien, pour n très grand, la somme \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} est denviron e ^ n. Droite? Cest juste la série de Taylor de la fonction exponentielle. Alors nous multiplions cela par e ^ {- n} et obtenons à peu près 1, et à mesure que nous laissons n grandir, cela devient de plus en plus précis, donc la limite doit être simplement 1. Je veux dire .
Nest-ce pas?
Cest faux.
Alors, quest-ce qui ne va pas ici? Eh bien, vous pourriez vous sentir un peu mal à laise avec cette entreprise Taylor. Je veux dire, bien sûr, la somme
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {x ^ k} {k!}
Est une somme partielle de Taylor série de e ^ x, donc sa limite pour x fixe comme n \ to \ infty est bien e ^ x. Mais ici, nous faisons quelque chose dun peu suspect: nous demandons à n deffectuer une double fonction à la fois comme plage de sommation et comme variable de la série de puissance.
Une chose, en tout cas, doit être claire: linstruction
\ displaystyle e ^ n =? = \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {k = 0} ^ {n} \ frac {n ^ k} {k!}
na aucun sens. La variable n est libre à gauche et liée à droite.
Ok. Donc, cette interprétation naïve est par la fenêtre. Comment évaluons-nous cette limite?
Il existe un moyen magnifique et magistral de résoudre ce problème qui est presque un tour de passe-passe. Cela va comme ceci: cest précisément la probabilité limite dune variable de Poisson aléatoire avec le paramètre \ lambda = n dêtre inférieure à son espérance. Une telle variable est distribuée tout comme la somme de n variables de Poisson indépendantes avec le paramètre \ lambda = 1, et une telle somme (normalisée par sa variance, \ sqrt {n}, qui na pas dimportance ici) converge en distribution vers une normale Distribution. Quelle est la probabilité quune variable aléatoire normale soit inférieure à sa moyenne? Pourquoi est-ce \ frac {1} {2}, bien sûr. Terminé. QED.
Attends, quoi?
Oui, vraiment. Si vous connaissez le théorème central des limites, cest exactement ce quil dit si vous prenez des variables aléatoires X\_1, X\_2, \ ldots dont chacune est Poisson (1). Bon exercice de routine pour appliquer le CLT à des variables aléatoires de Poisson.
Mais que se passe-t-il si vous ne connaissez pas le CLT ou si vous navez simplement pas pensé à interpréter cette limite comme une probabilité?
Alors, honnêtement, cest tout à fait un problème difficile. Le CLT est un théorème puissant qui cache pas mal de théorie, loffrant pratiquement gratuitement. Sans cela, vous êtes seul ici, et je ne connais pas de moyen vraiment simple de le prouver. Quelques manipulations et transformations intégrales intelligentes sont nécessaires.