Legjobb válasz
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ címke {1}
Erre kiváló bizonyíték van, és ez a bizonyíték valójában az, hogy Euler először igazolta ezt az identitást. Természetesen jóvá kell írnom a professzoromat, hogy megmutatta nekem ezt az identitást. (Az összes Quora-fiók fel van tüntetve a válasz végén található „Idézetek” fülön.) Végül az egyetlen számítás, amely a bizonyíték megértéséhez szükséges, a teljesítményszabály, amelyet továbbra is megismerhet, anélkül, hogy tudna róla.
\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} [x ^ n] = nx ^ {n-1} \ tag * {}
Kezdjük egy kis matematikatörténettel. Euler valódi identitása nem e ^ {i \ pi} + 1 = 0. Valójában egy Roger Cotes nevű matematikus írt erről évtizedekkel azelőtt, hogy Euler volt, de Euler híresebb volt, így neki köszönhető a felfedezése. Az a személyazonosság, amely Euler hírnevének bizonyult, valójában
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag * {}
* Szórakoztató tényként létezik egy törvény, az úgynevezett Stigler-törvény, amely kimondja, hogy nincs tudományos felfedezés eredeti felfedezőjéről kapta a nevét. Természetesen az összhang érdekében ezt a törvényt először Robert Merton javasolta. Példaként említhetjük ezt a törvényt: Roger Cotes által felfedezett Eulers Identity, a Hubble-törvény, George Lemaitre-ből származik, és Pitagorasz-tétel, amelyet a babiloni matematikusok jóval Pythagoras előtt fedeztek fel. Mindenesetre, térjünk vissza a válaszra.
Ez a probléma már jóval Euler előtt volt, de csak ő oldotta meg. Az akkori matematikusok, mint Jacob Bernoulli, Johan Bernoulli, Leibniz és John Wallis, már Euler előtt sokat dolgoztak a problémán, de nem tudtak pontos értéket felmutatni a kérdéses problémának. Valójában ez a probléma kezdett olyan nagyra nőni, hogy megkapta a saját nevét: a bázeli problémát.
Ahhoz, hogy bebizonyítsuk, hogy Euler összege konvergál, el kell írnunk erről ebből
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} … \ tag {1}
erre.
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
Ezek nyilvánvalóan ugyanazok a dolgok, de csak másképp vannak kifejezve. Itt egy másodperc alatt megmutatom, hogy a (2) miért hasznosabb, mint az (1).
Vegyük (2), majd változtassuk meg. Mivel szavakkal nagyon nehéz kifejezni, csak meg kell mutatnom:
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
\ implicit
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
Tehát megváltoztattuk a végtelen összeg értékét, ne aggódj, nem próbálok elcsúszni melletted. Elemezzük a (3) -t.
Úgy tűnik, hogy ez az új sorozat nagyobb, mint (2). Az első kifejezés a (2) és (3) -ban nyilvánvalóan egyenlő egymással. A (3) bekezdésben szereplő második kifejezés minden bizonnyal nagyobb, mint a (2), és látjuk, hogy ez a folyamat a végtelenségig folytatódik. Ez azt jelenti, hogy ha ez a (3) sorozat konvergál, akkor a másik (2) is.
Tehát ez a rész nem feltétlenül nyilvánvaló a legtöbb ember számára, ami rendben is van; nekem sem volt elsőre nyilvánvaló.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
Az első 4 kifejezés után levágjuk a sorozatot, és megtaláljuk a részösszeget.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 \ tag * {}
Azok számára, akik nem tudják, ez a sorozat így írható át:
\ dfrac {1} {1} + \ left (\ dfrac 1 1- \ dfrac 1 2 \ right) + \ balra (\ dfrac 1 2 – \ dfrac 1 3 \ jobbra) + \ balra (\ dfrac 1 3- \ dfrac 1 4 \ jobbra) \ tag * {}
Edit:
Kaptam egy kérdést arról, hogy hogyan juthatunk el az új sorozathoz, és ez volt a válaszom:
* Ha tudod, hogyan kell lépjen erre a lépésre, akkor átugorhatja ezt a következő idézett szakaszt.
Igen, részleges törésbővítéssel juthat el ehhez a lépéshez. A jelenlegi formájában a sorozat a következő:
1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ dfrac {1} {n (n + 1)} \ tag * { }
Feltételezhetjük, hogy az összeg belseje valós számok függvényével vagy az x függvényével reprezentálható, két új frakcióra bővítve.
\ dfrac {1 } {x (x + 1)} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x + 1} \ tag * {}
Szorzás közös nevezővel,
1 = A (x + 1) + B (x) \ tag * {}
Mivel x \ a \ mathbb R-ben, akkor hagyjuk x = 0-t és megtaláljuk A = 1-et .Hasonlóképpen, ha hagyjuk az x = -1 értéket, akkor B = -1 értéket kapunk, így átírhatjuk az összeg argumentumát úgy, hogy
1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (\ dfrac {1} {n} – \ dfrac {1} {n + 1} \ jobbra) \ tag * {}
Az összeadás asszociatív, ezért írja át ezt a részösszeget:
\ bal (\ dfrac 1 1+ \ dfrac 1 1 \ jobb) + \ bal (- \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ jobb) + \ bal (- \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ jobb ) – \ dfrac 1 4 \ tag * {}
Ami aztán elenyészővé válik.
2- \ dfrac 1 4 \ tag * {}
Mi Most visszatérek a végtelen sorozatunkhoz (3), és az első 4 kifejezést cseréljük le 2- \ frac 1 4-re, és megnézzük, mi történik onnan.
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5 \ cdot \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6 \ cdot \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
A korábban használt trükk használata,
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4- \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5- \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6- \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
És most nyilvánvalóvá válik ennek a végtelen összegnek az értéke.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … = 2 \ tag * {}
Remek! Tehát most már tudjuk, hogy a szóban forgó összeg valóban 2-nél kisebb értékre konvergál. A kíváncsiskodók számára \ frac {\ pi ^ 2} {6} \ kb. 1,644.
Most kezdhetjük bizonyítani Euler valódi identitása:
Tegyük fel, hogy a \ sin x valamilyen végtelen polinomként fejezhető ki.
\ sin x = a + bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}
Most már triviálisan megtalálhatjuk a polinom összes tagját. Kezdje azzal, hogy megadja az x = 0
\ sin 0 = a + b0 + c0 ^ 2 + d0 ^ 3 … \ tag * {}
0 = a \ tag * { }
Tehát új végtelen polinomunk lesz
\ sin x = bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}
Mindkét oldal megkülönböztetése
\ cos x = b + 2cx + 3dx ^ 2 … \ tag * {}
Az x = 0 beállítása,
1 = b \ tag * {}
Az x = 0 megkülönböztetése és beállítása végtelen polinomot ad a \ sin x számára. Ha ezt örökké folytatta, végül arra a következtetésre jut, hogy
\ sin x = 0 + 1x- \ dfrac {1} {2 \ cdot 3} x ^ 3 + … \ tag * {}
Ami leegyszerűsíti a következőt:
\ sin x = \ dfrac {x} {1!} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} … \ tag * {}
Tehát most helyreállítottuk a \ sin x Maclaurin sorozatát. Elnézést kérek, de szükségesnek éreztem a bizonyíték felvételét, mivel más dolgokat már bebizonyítunk.
Bár ez minden bizonnyal életképes bővítés a \ sin x számára, Euler más megközelítést alkalmazott. Vessen egy pillantást a \ sin x, \, x \ grafikonjára itt: [- \ pi, \ pi]. Tudjuk, hogy az x = – \ pi, \, 0, \, \ pi pontoknál vannak nullák, tehát ha ezt a grafikont modelleznénk, akkor egy köbös függvényt írhatunk nullával – \ pi, \, 0, \, \ pi.
f (x) = x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}
Ez így néz ki:
Ez természetesen egyáltalán nem hasonlít f (x) = \ sin x-re, de méretezhetjük a valamilyen állandó funkciója. Sok hegedülés után azt látjuk, hogy az a konstans, amely a \ sin x-hez legjobban illeszkedik a gráfba, \ frac {1} {\ pi ^ 2}. Lássuk új grafikonunkat:
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}
Ami nem pontos, de sokkal jobb. Kezeljük itt a funkciónkat, és később megtudhatja, miért történik ez.
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi -x) \ tag * {}
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi + x) \ cdot \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi- x) x \ tag * {}
f (x) = x \ left (1+ \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ left (1- \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ tag * {}
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ tag * {}
De nem közelítettük a teljes függvényt. Ehhez új feltételeket kell meghatároznunk, amelyek új nullákat adnak az x = 2 \ pi, \, – 2 \ pi értéknél. Nem mutatom újra az algebrát, és szabadon ellenőrizheti, ha akarja, de új függvényünk a következő lesz:
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ jobbra) \ balra (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ jobbra) \ tag * {}
És ezt követve az új feltételek hozzáadásának mintája, hogy megkapjuk az új nullákat, új függvényünk tökéletesen modellezi a \ sin x értékét.
f (x) = \ sin x = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ jobbra) \ balra (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ jobbra) \ balra (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ jobbra) \ balra (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ jobbra) … \ tag {4}
És itt a grafikonok egymás mellett.
* Bár nem pontosak, ez a grafikon 7 kifejezésre van kiírva . Elnézést kérek, hogy a végtelenségig nem tudtam kimenni, de egész éjjel nem volt. Ez azonban elég lesz, mivel célja az volt, hogy megmutassa a grafikon és a \ sin x közötti hasonlóságokat.
Elérkezünk, úgyhogy készüljetek fel! Ha szeretné, kattintson erre a válaszra, és nézze meg, hogy tovább tud-e menni innen. Sok szerencsét, ha megteszi!
Tiszta kínzásnak vetjük alá magunkat, ezért szaporodjunk (4). Átugrom az algebrát, mert nem azért vagyunk itt, hogy megőrüljünk.
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right ) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) \ balra (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ jobbra) … \ tag {4}
f (x) = \ left (x- \ dfrac {x ^ 3} {\ pi ^ 2} \ jobbra \ balra (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ jobbra) … \ tag * {}
f (x) = \ left (x + \ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3 + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ jobb) \ bal (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ jobbra) …\ tag * {}
Kizárólag az x ^ 3 tag együtthatójára fogunk összpontosítani, ezért tegyük mezőbe.
f (x) = \ left (x + \ dobozos {\ balra (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ jobbra) x ^ 3} + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ jobbra) \ balra (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} … \ right) \ tag * {}
Rendben, most szorozzuk meg a következő kifejezést az elsővel. Ismét megkíméllek az algebra bitjeitől.
x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}
Tehát innentől kezdve teljesen világos, hogy fog kinézni az x ^ 3 együtthatója. Már nincs szükségünk algebra elvégzésére, mivel csak követhetjük a mintát, és feltételezhetjük, hogy ez továbbra is minden kifejezésnél meg fog történni. Ezt követően összehasonlítjuk ezt a végtelen összeget a \ sin x Maclaurin-sorozatával.
\ sin x = x + \ dobozos {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} – \ bezár … \ enspace \ right) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}
\ sin x = \ dfrac {x} {1 !} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} + \ dfrac {x ^ 9} {9!} – \ dfrac {x ^ {11}} {11!} + … \ tag * {}
Együttható-összehasonlítással azt látjuk, hogy
– \ dfrac {x ^ 3} {3!} = \ Balra (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, … \ right) x ^ 3 \ tag * {}
Távolítsa el az x ^ 3 -t mindkét oldalról.
– \ dfrac {1} {3 !} = – \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, .. . \ tag * {}
Szorozza mindkét oldalt -1-szel:
\ dfrac {1} {3!} = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} + \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} { (5 \ pi) ^ 2} + … \ tag * {}
Szorozzuk \ pi ^ 2
\ dfrac {\ pi ^ 2} {3!} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} { 5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
Értékeljen 3-at! és itt van:
\ dfrac {\ pi ^ 2} {6} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1 } {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
Euler valódi identitása.
Idézetek:
Professzorom: Tan Nguyen
Válasz
Ó, ember, teljesen elrontottad! Nem így teszed fel a kérdést, gyere tovább !
Így kérdezed: Mi az
\ displaystyle \ lim\_ {n \ to \ infty} e ^ {- n} \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} \, \, \ text {?}
És akkor hátradőlve élvezi annak látványát, hogy mindenki azt mondja, hogy nyilvánvalóan 1, és elmagyarázzák, miért, és annyira világos, hogy nem Még bizonyítékot sem igényel, de mindenképp megkéred őket, hogy bizonyítsák, és megpróbálják, és nem sikerül (vagy ami még rosszabb: sikerül), és megkérdezed tőlük, hogy még mindig azt gondolják-e, hogy 1, és azt mondják, hogy igen, de a bizalom egy része elmúlt és csak addig játszadozol, ameddig tetszik, amíg nem tájékoztatod őket arról, hogy pontosan 100\% kedvezményben vannak.
Tehát miért gondolja mindenki, hogy ez a határ 1-nek felel meg, és miért nem igaz, és miért valójában \ frac {1} {2}?
Nos, n nagyon nagy esetén az összeg \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} kb. e ^ n. Jobb? Ez csak az exponenciális függvény Taylor-sorozata. Tehát akkor megszorozzuk e ^ {- n} értékkel, és csak kb. 1-t kapunk, és ahogy hagyjuk, hogy n növekedjen, ez csak egyre pontosabb lesz, ezért a határnak egyszerűen 1.-nek kell lennie. Úgy értem, hogy kell.
Ugye?
Rossz.
Tehát mi a baj itt? Nos, kissé kényelmetlenül érezheti magát a Taylor-üzlet miatt. Úgy értem, az összeg
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {x ^ k} {k!}
A Taylor részleges összege e ^ x sorozata, tehát az x rögzített korlátja, mint n \ to \ infty, valóban e ^ x. De itt valami gyanús dolgot csinálunk: arra kérjük az n-t, hogy végezzen kettős feladatot, mind a hatványsorok összesítési tartományaként, mind változóiként.
Mindenesetre egy dolognak egyértelműnek kell lennie: az utasítás
\ displaystyle e ^ n =? = \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {k = 0} ^ {n} \ frac {n ^ k} {k!}
semmi értelme. Az n változó a bal oldalon szabad és a jobb oldalán kötött.
Ok. Tehát ez a naiv értelmezés az ablakon kívül van. Hogyan értékeljük ezt a határt?
Ennek megoldására van egy gyönyörű, mesteri módszer, amely szinte kézenfekvő. Ez így hangzik: pontosan ez a \ lambda = n paraméterű véletlenszerű Poisson-változó korlátozó valószínűsége, hogy kisebb legyen, mint az elvárható. Egy ilyen változó ugyanúgy oszlik el, mint n független Poisson-változó összege \ lambda = 1 paraméterrel, és egy ilyen (varianciájával normalizált \ sqrt {n} összeg, amely itt nem számít) konvergál a normálissá terjesztés. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy normál véletlenszerű változó kisebb legyen az átlagánál? Természetesen miért \ frac {1} {2}. Kész. QED.
Várj, mi van?
Igen, tényleg. Ha tud a központi korlát tételről, pontosan ezt mondja, ha véletlenszerű X\_1, X\_2, \ ldot változókat veszünk, amelyek mindegyike Poisson (1). Jó, rutinszerű gyakorlat a CLT alkalmazásával véletlenszerű Poisson-változókra.
De mi van akkor, ha nem tudsz a CLT-ről, vagy egyszerűen csak nem merült fel benned, hogy ezt a határt valószínűségként értelmezd?
Akkor ez őszintén szólva elég nagy kemény probléma. A CLT egy hatalmas tétel, amely meglehetősen elméletet rejt, gyakorlatilag ingyen kínálja azt. Enélkül egyedül vagy itt, és nem tudok egy igazán egyszerű módszert ennek bizonyítására. Néhány okos integrál manipulációra és átalakításra van szükség.