Risposta migliore
Poiché il tubo è cilindrico, possiamo optare per coordinate cilindriche. Considera lallineamento dellasse del tubo nella direzione z. La gravità agisce lungo la direzione y negativa. E non cè flusso nella direzione x. Supponiamo di applicare la pressione p1 allingresso e p2 alluscita. (p1> p2).
Il flusso è considerato laminare, ovvero il numero di Reynolds è 000, è completamente sviluppato significa che non cè variazione di velocità lungo la direzione z ed è incomprimibile.
Per qualsiasi flusso incomprimibile (numero di Mach ,3), la conservazione dellequazione di massa dà,
\ nabla \ cdot \ mathbf V = 0
teorema di Navier-Stokes per incomprimibile – newtoniano (viscosità costante ) il flusso è,
ρ * (\ dfrac {\ partial V} {\ partial t} + (\ mathbf V \ cdot \ nabla) * V) = – \ nabla p + ρ \ cdot \ vec g + μ * \ nabla ^ 2 V
Quindi il bilancio di massa in coordinate cilindriche sarà:
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial ( rV (r))} {\ partial r} + \ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial (V (θ))} {\ partial θ} + \ dfrac {\ partial (V (z) )} {\ partial z} = 0
che restituisce,
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial (rV (r))} {\ parziale r} = 0
poiché non cè velocità nella direzione θ e nessun flusso nella direzione z.
Quindi,
rV (r) è un costante, ora a r = R, V (r) = 0 (a causa della condizione antiscivolo, un fatto sperimentale), implica V (r) = 0 ovunque, poiché la costante sarà zero.
Ora,
la gravità è nella direzione y:
\ hat \ jmath = sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ)
Che dà, -g \ hat \ jmath = -g (sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ))
Ora scriviamo lequazione r- momentum:
0 = – \ dfrac {\ partial p} {\ partial r} + -ρgsinθ
scrivendo θ equazione momentum
0 = – \ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial p} {\ partial θ} + -ρgcosθ
Combinando queste due equazioni, otteniamo,
p = – ρgy + f (z)
Ora scriviamo lequazione del momento z finale:
ρ * (\ dfrac {\ partial V (z)} {\ t parziale } + V (r) \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r} + \ dfrac {V (θ)} {r} \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial θ} + \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial z} = – \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} + ρg (z) + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial ( r \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r})} {\ partial r} + 0 + 0)
Gli ultimi due termini sono 0 perché il flusso è simmetrico rispetto allasse ed è completamente sviluppato.
Prendendo in considerazione tutte le ipotesi e la gravità non è nella direzione z, questa equazione viene ridotto a:
– \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial (r \ dfrac {\ partial V (z )} {\ partial r})} {\ partial r}) = 0
– \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} = \ dfrac {\ delta p} {L}
dove L è la lunghezza del tubo.
quindi
\ dfrac {\ delta p} {L} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial (r \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r})} {\ partial r}) = 0
La condizione al contorno sarà V (z) in z = R e z = 0 saranno 0 (nessuna condizione di scorrimento),
Quindi il profilo di velocità nel tubo può essere calcolato come una funzione di r,
V nella direzione z come funzione di r,
V (r) = \ dfrac {\ delta p} {μL} \ cdot R ^ 2/4 [1-r ^ 2 / R ^ 2]
che è un profilo parabolico.
La portata volumetrica Q può essere calcolata come segue:
Q = \ int V \ cdot \ hat n \, dA
che dà,
Q = \ dfrac {π * δP * R ^ 4} {8 * μ * L}
Ora per quanto riguarda la tua domanda, penso che se consideri solo regime laminare, possiamo applicare la formula sopra per calcolare la pressione allinterno del tubo.
Spero che sp è di aiuto!
Risposta
La tua domanda è piuttosto strana. La pressione allinterno di un tubo dipende da fattori oltre le dimensioni di un tubo. Essenzialmente la pressione è la forza per unità di area. Sebbene sia possibile ottenere unequazione per la superficie interna di un tubo che è un semplice problema geometrico, senza la conoscenza del tipo di gas o liquido che spingereste attraverso il tubo non sareste comunque in grado di determinare la pressione allinterno, dovresti anche conoscere il volume della sostanza e le sue velocità di flusso previste, tutto ciò che dovrai considerare che crea una forza e quindi dividi la superficie interna per la pressione