ベストアンサー
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \タグ{1}
これには優れた証拠があり、この証拠は実際、オイラーが最初にこのアイデンティティを証明した方法です。もちろん、私はこのアイデンティティを私に示した私の教授の功績を認めなければなりません。 （すべてのQuoraアカウントは、この回答の最後にある[引用]タブにリストされています）最後に、この証明を理解するために必要な唯一の計算は、べき乗則です。これは、知らなくても実行できます。
\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} [x ^ n] = nx ^ {n-1} \ tag * {}
数学の小さな歴史から始めます。オイラーの本当のアイデンティティはではありません e ^ {i \ pi} + 1 = 0。実際、ロジャー・コーツという数学者はオイラーの前のこの数十年について書いていますが、オイラーはもっと有名だったので、彼はその発見で有名でした。オイラーの名声であることが証明されたアイデンティティは、実際には
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag * {}
*面白い事実として、スティグラーの法則と呼ばれる法があり、科学的発見はないと述べています。元の発見者にちなんで名付けられました。もちろん、一貫性を保つために、この法律は最初にロバート・マートンによって提案されました。この法則の例としては、ロジャーコーツによって発見されたオイラーの等式、ジョージルマイトルから派生したハッブルの法則、ピタゴラスのずっと前にバビロニア数学者によって発見されたピタゴラスの定理などがあります。とにかく、答えに戻ってください。
この問題はオイラーのずっと前にありましたが、彼まで解決されませんでした。ヤコブ・ベルヌーイ、ヨハン・ベルヌーイ、ライプニッツ、ジョン・ウォリスなどの当時の数学者は、オイラーよりずっと前からこの問題に取り組んでいましたが、問題の問題の正確な値を思い付くことができませんでした。実際、この問題は非常に大きくなり始め、バーゼル問題という独自の名前が付けられました。
オイラー総和法が最初に収束することを証明するには、これから書き直す必要があります
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} … \ tag {1}
これに。
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
これらはどちらも明らかに同じものですが、表現が異なります。ここでは、（1）よりも（2）の方が便利な理由をすぐに説明します。
（2）を取得してから変更します。言葉で表現するのは非常に難しいので、それをお見せする必要があります：
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2 + \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
\ implies
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2 + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
つまり、無限の合計の値を変更しました。心配しないでください。私はあなたの前を通り過ぎようとはしていません。 （3）を分析してみましょう。
この新しいシリーズは（2）よりも大きいようです。 （2）と（3）の両方の最初の項は明らかに互いに等しい。 （3）の第2項は、確かに（2）よりも大きく、このプロセスは無限に続くことがわかります。これは、このシリーズ（3）が収束すると、他のシリーズ（2）も収束することを意味します。
したがって、この部分はほとんどの人にとって明白ではない可能性があります。これは問題ありません。最初は私にもわかりませんでした。
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2 + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
最初の4項の後で系列を切り取り、部分和を求めます。
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2 + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 \ tag * {}
わからない人のために、このシリーズは次のように書き直すことができます：
\ dfrac {1} {1} + \ left（\ dfrac 1 1- \ dfrac 1 2 \ right）+ \ left（\ dfrac 1 2- \ dfrac 1 3 \ right）+ \ left（\ dfrac 1 3- \ dfrac 1 4 \ right）\ tag * {}
編集：
新しいシリーズにアクセスする方法を尋ねる質問を受け取りました。これが私の回答でした：
*方法を知っている場合そのステップに到達したら、この次の引用セクションをスキップできます。
はい、部分分数展開によってそのステップに到達できます。現在の形式のシリーズは次のとおりです。
1 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ dfrac {1} {n（n + 1）} \ tag * { }
合計の内部は、2つの新しい分数に展開された実数の関数またはxの関数で表すことができると想定できます。
\ dfrac {1 } {x（x + 1）} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x + 1} \ tag * {}
共通の分母を掛ける
1 = A（x + 1）+ B（x）\ tag * {}
x \ in \ mathbb Rなので、x = 0とし、A = 1を見つけます。 。同様に、x = -1とするとB = -1になるので、合計の引数を次のように書き換えることができます
1 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left （\ dfrac {1} {n}-\ dfrac {1} {n + 1} \ right）\ tag * {}
加算は連想的であるため、この部分和を書き直してください：
\ left（\ dfrac 1 1+ \ dfrac 1 1 \ right）+ \ left（-\ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ right）+ \ left（-\ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ right ）-\ dfrac 1 4 \ tag * {}
これは簡単になります。
2- \ dfrac 1 4 \ tag * {}
私たちはここで、無限級数（3）に戻り、最初の4つの項を2- \ frac 1 4に置き換えて、そこから何が起こるかを確認します。
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5 \ cdot \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6 \ cdot \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
以前に使用したトリックを使用して
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4- \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5- \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6- \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
これで、この無限の合計の値が明らかになります。
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … = 2 \ tag * {}
すばらしい！これで、問題の合計が2未満の値に収束することがわかりました。好奇心旺盛な人のために、\ frac {\ pi ^ 2} {6} \約1.644。
証明を開始できます。オイラーの本当のアイデンティティ：
\ sinxを無限の多項式として表現できると仮定します。
\ sin x = a + bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + .. .. \ tag * {}
これで、多項式のすべての項を簡単に見つけることができます。 x = 0
\ sin 0 = a + b0 + c0 ^ 2 + d0 ^ 3 … \ tag * {}
0 = a \ tag * {にすることから始めます。 }
したがって、新しい無限多項式は次のようになります
\ sin x = bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}
両側を区別する
\ cos x = b + 2cx + 3dx ^ 2 … \ tag * {}
x = 0の設定
1 = b \ tag * {}
x = 0を微分して設定すると、\ sinxの無限多項式が得られます。これを永遠に続けた場合、最終的には
\ sin x = 0 + 1x- \ dfrac {1} {2 \ cdot 3} x ^ 3 + … \ tagという結論に達します。 * {}
これは単純化されます
\ sin x = \ dfrac {x} {1！}-\ dfrac {x ^ 3} {3！} + \ dfrac {x ^ 5} {5！}-\ dfrac {x ^ 7} {7！} … \ tag * {}
これで、\ sinxのMaclaurin級数が復元されました。申し訳ありませんが、とにかく他のものをすでに証明しているので、その証拠を含める必要があると感じました。
これは確かに\ sin xの実行可能な拡張ですが、オイラーは別のアプローチを取りました。 \ sin x、\、x \ in [-\ pi、\ pi]のグラフを見てください。 x =-\ pi、\、0、\、\ piにゼロがあることがわかっているので、このグラフをモデル化すると、-\ pi、\、0、\、にゼロを持つ3次関数を記述できます。 \ pi。
f（x）= x（\ pi + x）（\ pi-x）\ tag * {}
次のようになります：
もちろん、これはf（x）= \ sin xとはまったく似ていませんが、乗算することでスケーリングできます。ある定数で関数します。何度もいじった後、グラフを\ sinxに最適にする定数は\ frac {1} {\ pi ^ 2}であることがわかります。
f（x）= \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x（\ pi + x）（\ pi-x）\ tag * {} pの新しいグラフを見てみましょう。 >
正確ではありませんが、はるかに優れています。ここで関数を操作してみましょう。後でこれが発生する理由がわかります。
f（x）= \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x（\ pi + x）（\ pi -x）\ tag * {}
f（x）= \ dfrac {1} {\ pi}（\ pi + x）\ cdot \ dfrac {1} {\ pi}（\ pi- x）x \ tag * {}
f（x）= x \ left（1+ \ dfrac {x} {\ pi} \ right）\ left（1- \ dfrac {x} {\ pi} \ right）\ tag * {}
f（x）= x \ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right）\ tag * {}
しかし、関数全体を概算していません。そのためには、x = 2 \ pi、\、-2 \ piに新しいゼロを追加する新しい項を決定する必要があります。代数を再度表示することはありません。必要に応じて自由に確認できますが、新しい関数は次のようになります。
f（x）= x \ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right）\ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {（2 \ pi）^ 2} \ right）\ tag * {}
そしてこれに従う新しいゼロを受け取るために新しい項を追加するパターン。新しい関数は、\ sinxの関数を完全にモデル化します。
f（x）= \ sin x = x \ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right）\ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {（2 \ pi）^ 2} \ right）\ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {（3 \ pi）^ 2} \ right）\ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {（4 \ pi）^ 2} \ right）… \ tag {4}
そしてここグラフを並べて表示します。
*正確ではありませんが、これは7つの用語で書き出されたグラフです。 。無限大まで外出できなかったことをお詫びしますが、一晩中過ごしませんでした。ただし、このグラフと\ sin xの類似点を示すことが目的であったため、これで十分です。
ここに到達しましたので、準備してください。必要に応じて、この回答から離れてクリックし、ここから残りの方法を実行できるかどうかを確認してください。もしそうなら頑張ってください！
私たちは純粋な拷問にさらされるので、掛け算してください（4）。気が狂うためにここにいるわけではないので、代数をスキップします。
f（x）= x \ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right ）\ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {（2 \ pi）^ 2} \ right）\ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {（3 \ pi）^ 2} \ right）\ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {（4 \ pi）^ 2} \ right）… \ tag {4}
f（x）= \ left（x- \ dfrac {x ^ 3} {\ pi ^ 2} \ right）\ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {（2 \ pi）^ 2} \ right）… \ tag * {}
f（x）= \ left（x + \ left（-\ dfrac {1} {\ pi ^ 2}-\ dfrac {1} {（2 \ pi）^ 2} \ right）x ^ 3 + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {（2 \ pi）^ 2} x ^ 5 \ right）\ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {（3 \ pi） ^ 2} \ right）..。\ tag * {}
ここからはx ^ 3項の係数のみに焦点を当てるので、ボックスに入れましょう。
f（x）= \ left （x + \ boxed {\ left（-\ dfrac {1} {\ pi ^ 2}-\ dfrac {1} {（2 \ pi）^ 2} \ right）x ^ 3} + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {（2 \ pi）^ 2} x ^ 5 \ right）\ left（1- \ dfrac {x ^ 2} {（3 \ pi）^ 2} .. .. \ right）\ tag * {}
では、次の項に最初の項を掛けてみましょう。繰り返しますが、代数ビットからあなたを惜しまないでしょう。
x + \ boxed {\ left（-\ dfrac {1} {\ pi ^ 2}-\ dfrac {1} {（2 \ pi） ^ 2}-\ dfrac {1} {（3 \ pi）^ 2} \ right）x ^ 3} +（…）x ^ 5 +（…）x ^ 7 \ tag * {}
したがって、ここから、x ^ 3の係数がどのようになるかはかなり明確です。パターンに従うだけで、これがすべての用語で引き続き発生すると想定できるため、代数を実行する必要がなくなりました。この後、この無限の合計を\ sinxのMaclaurinシリーズと比較します。
\ sin x = x + \ boxed {\ left（-\ dfrac {1} {\ pi ^ 2}- \ dfrac {1} {（2 \ pi）^ 2}-\ dfrac {1} {（3 \ pi）^ 2}-\ dfrac {1} {（4 \ pi）^ 2}-\ enspace .. .. \ enspace \ right）x ^ 3} +（…）x ^ 5 +（…）x ^ 7 \ tag * {}
\ sin x = \ dfrac {x} {1 ！}-\ dfrac {x ^ 3} {3！} + \ dfrac {x ^ 5} {5！}-\ dfrac {x ^ 7} {7！} + \ dfrac {x ^ 9} {9！} -\ dfrac {x ^ {11}} {11！} + … \ tag * {}
係数を比較すると、
-\ dfrac {x ^ 3} {3！} = \ left（-\ dfrac {1} {\ pi ^ 2}-\ dfrac {1} {（2 \ pi）^ 2}-\ dfrac {1} {（3 \ pi）^ 2}-\、… \ right）x ^ 3 \ tag * {}
両側からx ^ 3を取り外します。
-\ dfrac {1} {3 ！} =-\ dfrac {1} {\ pi ^ 2}-\ dfrac {1} {（2 \ pi）^ 2}-\ dfrac {1} {（3 \ pi）^ 2}-\、.. 。\ tag * {}
両側に-1を掛けます：
\ dfrac {1} {3！} = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} + \ dfrac {1} {（2 \ pi）^ 2} + \ dfrac {1} {（3 \ pi）^ 2} + \ dfrac {1} {（4 \ pi）^ 2} + \ dfrac {1} { （5 \ pi）^ 2} + … \ tag * {}
\ pi ^ 2で乗算
\ dfrac {\ pi ^ 2} {3！} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} { 5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
3を評価してください！
\ dfrac {\ pi ^ 2} {6} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1 } {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
オイラーの本当のアイデンティティ。
引用：
私の教授：タングエン
答え
ああ、あなたはそれを完全に台無しにしました！これはあなたが質問する方法ではありません、に来てください！
あなたはこのように尋ねます：何ですか
\ displaystyle \ lim\_ {n \ to \ infty} e ^ {-n} \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k！} \、\、\ text {？}
そして、座って、明らかに 1だと言っているみんなの光景を楽しんでください。彼らはその理由を説明していますが、それは非常に明確です。証明も必要ですが、とにかく証明するように依頼すると、彼らは失敗します（またはさらに悪いことに成功します）。正確に100％オフであると通知するまで、好きなだけプレイします。
では、なぜこの制限が1に等しいと誰もが考えるのか、なぜそうではないのか、そしてなぜ実際には\ frac {1} {2}ですか？
nが非常に大きい場合、合計\ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k！}は約e ^ n。正しい？これは、指数関数のテイラー級数にすぎません。したがって、これにe ^ {-n}を掛けて、約1を取得します。nを大きくすると、これはますます正確になるため、制限は単純に1にする必要があります。つまり、はします。
正しいですか？
間違っています。
では、ここで何が問題になっていますか？さて、あなたはそのテイラービジネスについて少し不快に感じるかもしれません。つまり、確かに、合計
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {x ^ k} {k！}
はテイラーの部分的な合計です一連のe ^ xであるため、n \ to \ inftyとしての固定xの制限は確かにe ^ xです。しかし、ここでは少し疑わしいことをしています。合計範囲とべき級数の変数の両方として二重の義務を実行するようにnに求めています。
とにかく、1つのことを明確にする必要があります。ステートメント
\ displaystyle e ^ n =？= \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {k = 0} ^ {n} \ frac {n ^ k} {k！}
まったく意味がありません。変数nは左側が自由で、右側がバインドされています。
わかりました。そのため、素朴な解釈は窓の外にあります。 どのようにその制限を評価しますか？
これを解決するための美しく巧妙な方法がありますが、これはほとんど手先の早業です。これは次のようになります。これは、パラメーター\ lambda = nを持つランダムポアソン変数が期待値よりも小さくなる確率を正確に制限するものです。このような変数は、パラメーター\ lambda = 1のn個の独立したポアソン変数の合計と同じように分布し、そのような合計（分散、\ sqrt {n}で正規化、ここでは関係ありません）は正規分布に収束します。分布。正規確率変数がその平均よりも小さい確率はどれくらいですか？もちろん、なぜ\ frac {1} {2}なのか。完了。 QED。
待って、何？
はい、本当に。中心極限定理について知っている場合、これは、それぞれがポアソン（1）である確率変数X\_1、X\_2、\ ldotsを取る場合に正確に言うことです。ランダムなポアソン変数にCLTを適用する際の優れた日常的な演習。
しかし、CLTについて知らない場合、またはこの制限を確率として解釈することがまったくなかった場合はどうなりますか？
正直なところ、これはかなりのことです。 難しい問題。 CLTは、かなりの理論を隠し、事実上無料で提供する強力な定理です。 それがなければ、あなたはここに一人でいます、そして私はこれを証明するための本当に簡単な方法を知りません。 いくつかの巧妙な統合操作と変換が必要です。