ベストアンサー
\ pi = \ frac {C} {d}ここで、Cとdは（それぞれ）任意の円の円周と直径です。
\ piが整数ではないことは簡単にわかります。これを行う1つの方法は、たとえばカップを使用して、単に円を作成することです。文字列で円周を測定し、定規で文字列の長さを計算します。直径も測定します。 \ piは3より大きく4未満であるとすぐに信じる必要があります。\ piは円のサイズに依存しないことを確信するかもしれません。
金属のシートを取ることもできます（または湿ったボール紙が機能します）そして2つの形を切り取ります：1つは一辺の長さが1の正方形です。もう1つは半径1の円です（敏感なスケールがある場合）円の重さは約3.14倍です。正方形として。重みの比率は（理想的には）\ piです。
アルキメデスの取り尽くし法（アルキメデス “方法）を使用すると、次のことができます（アルキメデスが行ったように）\ piは3 \ frac {1} {7}未満であるが3 \ frac {10} {71}を超えると結論付けます。
これで、\ piは整数ではないことがわかりました。 。それは繰り返し小数（有理数）または非繰り返し小数である可能性があります。実際には非繰り返し小数です。これらの数値を非合理的と呼びます。\ piが非合理的であるという本当に基本的な証拠を見つけることができません。しかし、これは少なくとも非常に短く、計算のみを使用します： $ \ pi $が不合理であるという簡単な証拠。
これは答えるかもしれませんあなたの質問です。
しかし、「有限の数の整数を使用する\ piの自然な代数的記述はありますか」という意味かもしれません。これを形式化する最も自然な方法は、\ piが有理係数を持つ多項式の解であると想定することです。たとえば数\ sqrt {2}は無理数ですが、整数を使用した簡単な説明があります。これは、方程式
x ^ 2-2 = 0。
したがって、\ sqrt {2}は不合理ですが、（1,0、-2）として簡潔にエンコードされる可能性があります。 x ^ 2 + 0x-2の係数。
このように整数を使用して名前を付けることができる数は、「代数」（代数-Wikipedia ）。
\ piは代数的ではなく、超越数です（超越数-ウィキペディア） 。
Lindemann–Weierstrassの定理-Wikipedia を受け入れると、\ piが超越的であるという議論は簡単です。この定理は常に\ alphaは代数的数であり、数e ^ \ alphaは超越的です。\ piが代数的である場合、\ pi iも同様になります（ 2つの代数的数の和と積が代数的であることを証明する方法は？）。しかし、オイラーの等式によれば、e ^ {\ pi i} = -1です。 -1は超越的ではないことに注意してください。したがって、\ piは代数的ではありません。
回答
18世紀、ヨハンハインリッヒランバートは、π（pi）の数が無理数であることを証明しました。つまり、分数 a / b として表すことはできません。ここで、 a は整数であり、 b はゼロ以外の整数です。 19世紀、シャルルエルミートは、基本的な微積分以外の前提知識を必要としない証拠を発見しました。エルミートの証明の3つの簡略化は、メアリーカートライト、イヴァンニーベン、ブルバキによるものです。ランバートの証明の簡略化である別の証明は、ミクロスラツコビッチによるものです。 1882年、フェルディナントフォンリンデマンは、πが非合理的であるだけでなく、超越的でもあることを証明しました。
ランバートの証明
1761年、ランバートは、この継続的な分数展開が成り立つことを最初に示すことにより、πが不合理であることを証明しました。
次に、ランバートは、 x がゼロ以外で有理数の場合、この式は無理数でなければならないことを証明しました。tan（π/ 4）= 1、したがって、π/ 4は非合理的であり、したがってπは非合理的です。
ハーマイトの証明
この証明は、πの特性を、半分が余弦関数のゼロである最小の正の数として使用し、実際には、π2が無理数であることを証明します。多くの非合理性の証明と同様に、議論は帰謬法によって進められます。シーケンス（ An ） n ≥0および（ Un ） n ≥0の R からこのように定義された R ：
誘導により、
そしてそれ
したがって、
だから
これは
これは、 A 0（ x ）= sin（ x ）そして、その A 1（ x ）= − x cos（ x ）+ sin（ x ）、その An （ x ）は Pn （ x 2）sin（ x ）+ x Qn （ x 2）cos（ x ）、ここで Pn と Qn は、整数係数を持つ多項式関数です。 Pn の次数が⌊ n /2⌋以下の場合。特に、 An （π/ 2）= Pn （π2/ 4）です。 Hermiteは、関数 An 、つまり
彼はこの主張を正当化しませんでしたが、それは簡単に証明できます。まず第一に、このアサーションは
と同等です。 n = 0。
そして、誘導ステップについては、任意の n ∈ Z を検討します。 +。
の場合、パーツによる統合とLeibnizのルールを使用して1つ取得
π2/ 4 = p / q 、 p およびivid N の= “93ad14bdaa”>