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45 ^ o의 회전이 아닙니다. 이것이 \ mathbb {R}에서 벡터를 회전하는 변환입니다. ^ 2 각도 \ theta. 다음과 같은 공식을 유도 할 수 있습니다.
\ mathbf {V} 벡터를 \ theta 각도로 회전 시키십시오. 새로운 벡터 \ mathbf {V “}를 얻기위한 변환입니다.
Let r = | \ mathbf {V} |. 그러면 관계식이 있습니다.
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x “= r \ cos (\ alpha + \ theta)
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y”= r \ sin (\ alpha + \ theta)
언제 관계가 있습니다 :
v\_x “= v\_x \ cos \ theta-v\_y \ sin \ theta
v\_y “= v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta
이것은 행렬 형식으로 다음과 같이 표현됩니다.
\ begin {pmatrix} v\_x”\\ v\_y “\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta &&-\ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
답변
이 문제를 해결하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.
첫 번째는 Euler의 회전을 호출하는 것입니다. 정리 는 단일 고정 점을 중심으로 제한된 수의 회전을 나타냅니다 (그러나 nd imensions)는 \ hat {n} 축을 중심으로 한 각도 \ theta의 단일 회전으로 표현할 수 있습니다.
모든 회전이 행렬로 표현되고 벡터를 회전하는 방법이 행렬 곱셈을하면 회전 행렬 A\_1 A\_2 … A\_n의 곱도 회전 행렬이어야합니다. 그렇지 않으면 Euler의 회전 정리를 위반했습니다.
물론, 문제는 이 정리를 실제로 증명 하는 방법
Euler의 원래 작업은… 이것은 구의 표면에 그려진 수많은 삼각형 (예 : 비 유클리드 삼각형)을 포함합니다.
끝까지 증명하자면, 앞서 링크 된 위키 백과 페이지는 반 정도 괜찮은 일을하는 것 같습니다.
대체 방법 (또는 동등하게 오일러의 정리를 증명하는 두 번째 방법)은 직접 회전 행렬의 속성을 사용하고 그룹 이론으로 약간 이동합니다.
수학적으로 말하면 회전은 공간의 모든 점 사이의 거리가 일정하게 유지되고 점을 남기는 모든 작업입니다. 또는 객체의 방향 구조를 보존하는 것 외에도 고정 된 점 집합 (단순한 유클리드 공간에 있다고 가정).
그룹 이론 언어에서는 이러한 연산을 (유클리드 공간에서 ) “n 차원의 특수 직교 그룹”또는 줄여서 SO (n)
SO (n)의 구성원 인 행렬 A는 다음 두 속성으로 정의됩니다.
- A ^ TA = 1\_n ( 직교비트)
- \ text {det} (A) = 1 ( 특수비트)
예 회전 행렬은 행렬식이 1 인 직교 행렬입니다. 여기서 1\_n은 n 차원의 단위 행렬입니다.
“직교성”조건은 거리가 유지되도록하는 조건입니다. 유클리드 공간에서는 길이 dof의 벡터 \ mathbf {v}가 다음과 같기 때문입니다.
\ displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
이 벡터를 회전하면 \ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}, A가 직교 벡터 인 경우, 행렬 곱셈의 속성 :
\ displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
따라서 거리 d는 회전의 영향을받지 않았습니다.
모든 직교 행렬은 \ pm 1 행렬식을 갖지만 음의 행렬식을 가진 행렬은 일부 축을 중심으로 미러 플립 반사도 포함합니다. 우리가 공간에서 물체의 방향을 유지하기 위해 반사가 아닌 순수한 회전을 원한다는 점을 감안할 때, 우리는“특별한”비트가 나오는 양의 결정자를 가진 것으로 제한합니다.
이러한 구조가 그룹을 형성한다고 언급 한 사실 (연관된 연산이 행렬 곱셈)이라는 사실은 그룹이 c