우수 답변
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag {1}
이에 대한 훌륭한 증거가 있습니다.이 증거는 실제로 Euler가이 신원을 처음 증명 한 방법입니다. 물론이 신분을 보여준 교수님을 믿어야합니다. (모든 Quora 계정은이 답변 끝에있는 “인용”탭에 나열되어 있습니다.) 마지막으로이 증명을 이해하는 데 필요한 유일한 미적분은 전원 규칙이며,이 규칙은 모르고도 얻을 수 있습니다.
\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} [x ^ n] = nx ^ {n-1} \ tag * {}
우리는 약간의 수학 역사부터 시작합니다. Euler의 실제 정체성은 e ^ {i \ pi} + 1 = 0이 아닙니다 . 사실 Roger Cotes라는 수학자는 오일러보다 수십 년 전에이 기사를 썼지 만 오일러가 더 유명해서 그 발견으로 인정 받았습니다. Euler의 명성에 대한 주장으로 입증 된 정체성은 사실
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag * {}
* 재미있는 사실로, 과학적 발견이 없음을 명시하는 스티 글러의 법칙이라는 법칙이 있습니다. 원래 발견 자의 이름을 따서 명명되었습니다. 물론 일관성을 위해이 법은 Robert Merton이 처음 제안했습니다. 이 법칙의 예로는 Roger Cotes가 발견 한 Euler의 정체성, George Lemaitre에서 파생 된 Hubble의 법칙과 Pythagoras 이전에 바빌로니아 수학자들이 발견 한 Pythagorean의 정리가 있습니다. 어쨌든, 대답으로 돌아갑니다.
이 문제는 오일러보다 훨씬 이전에 있었지만 그 전에는 해결되지 않았습니다. 당시 Jacob Bernoulli, Johan Bernoulli, Leibniz 및 John Wallis와 같은 수학자들은 오일러 이전에 문제를 연구했지만 문제의 정확한 가치를 제시 할 수 없었습니다. 사실,이 문제는 너무 커지기 시작하여 자체 이름 인 바젤 문제를 갖게되었습니다.
처음에 오일러의 합이 수렴한다는 것을 증명하려면이 문제를 다시 작성해야합니다.
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} … \ tag {1}
여기에.
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
둘 다 똑같지 만 다르게 표현되었습니다. 여기서 (1)보다 (2)가 더 유용한 이유를 곧 보여 드리겠습니다.
(2)를 가져 와서 변경하세요. 말로 표현하는 것은 매우 어렵 기 때문에 다음과 같이 보여 드리겠습니다.
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
\ implies
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
그래서 우리는 무한 합계의 값을 변경했습니다. 걱정하지 마세요. 저는 여러분을 지나치려는 것이 아닙니다. 분석해 보겠습니다 (3).
이 새 시리즈는 (2)보다 큰 것으로 보입니다. (2)와 (3)의 첫 번째 항은 분명히 서로 동일합니다. (3)의 두 번째 항은 확실히 (2)보다 큽니다. 우리는이 과정이 무한대로 계속된다는 것을 알 수 있습니다. 즉,이 시리즈 (3)가 수렴하면 다른 시리즈 (2)도 수렴된다는 것을 의미합니다.
따라서이 부분은 대부분의 사람들에게 명확하지 않을 수 있습니다. 처음에는 분명하지 않았습니다.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
처음 4 개 항 이후의 시리즈를 잘라 내고 부분합을 찾습니다.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 \ tag * {}
모르는 분들을 위해이 시리즈는 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
\ dfrac {1} {1} + \ left (\ dfrac 1 1- \ dfrac 1 2 \ right) + \ left (\ dfrac 1 2-\ dfrac 1 3 \ right) + \ left (\ dfrac 1 3- \ dfrac 1 4 \ right) \ tag * {}
편집 :
새로운 시리즈를 어떻게 얻을 수 있는지 묻는 질문을 받았는데 이것이 제 답변이었습니다.
* 해당 단계로 이동하면 다음 인용 섹션을 건너 뛸 수 있습니다.
예, 부분 분수 확장으로 해당 단계로 이동할 수 있습니다. 현재 형식의 시리즈는 다음과 같습니다.
1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ dfrac {1} {n (n + 1)} \ tag * { }
합의 내부가 실수 함수 또는 x 함수로 표현되어 두 개의 새로운 분수로 확장 될 수 있다고 가정 할 수 있습니다.
\ dfrac {1 } {x (x + 1)} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x + 1} \ tag * {}
공통 분모로 곱하기
p>
1 = A (x + 1) + B (x) \ tag * {}
x \ in \ mathbb R 이후로 x = 0으로하고 A = 1을 찾습니다. .마찬가지로 x = -1을 사용하면 B = -1이되므로 합계의 인수를 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (\ dfrac {1} {n}-\ dfrac {1} {n + 1} \ right) \ tag * {}
더하기는 연관성이 있으므로 다음 부분 합계를 다시 작성하세요.
\ left (\ dfrac 1 1+ \ dfrac 1 1 \ 오른쪽) + \ left (-\ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ 오른쪽) + \ left (-\ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ right )-\ dfrac 1 4 \ tag * {}
그러면 사소 해집니다.
2- \ dfrac 1 4 \ tag * {}
우리는 이제 무한 급수 (3)로 돌아가서 처음 4 개 항을 2- \ frac 1 4로 바꾸고 거기에서 무슨 일이 일어나는지 확인합니다.
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5 \ cdot \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6 \ cdot \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
이전에 사용한 트릭을 사용하여
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4- \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5- \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6- \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
이제이 무한 합계의 값이 분명해졌습니다.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … = 2 \ tag * {}
좋습니다! 이제 문제의 합계가 2보다 작은 값으로 수렴된다는 것을 알고 있습니다. 궁금한 사람들을 위해 \ frac {\ pi ^ 2} {6} \ approx 1.644.
이제 증명을 시작할 수 있습니다. 오일러의 실제 정체 :
\ sin x가 무한 다항식으로 표현 될 수 있다고 가정합니다.
\ sin x = a + bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}
이제 다항식의 모든 항을 사소하게 찾을 수 있습니다. x = 0
\ sin 0 = a + b0 + c0 ^ 2 + d0 ^ 3 … \ tag * {}
0 = a \ tag * { }
그러면 우리의 새로운 무한 다항식은
\ sin x = bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}
양쪽 미분
\ cos x = b + 2cx + 3dx ^ 2 … \ tag * {}
설정 x = 0,
1 = b \ tag * {}
미분화 및 x = 0 설정은 \ sin x에 대한 무한 다항식을 제공합니다. 이 작업을 영원히 계속한다면 결국
\ sin x = 0 + 1x- \ dfrac {1} {2 \ cdot 3} x ^ 3 + … \ tag * {}
단순화
\ sin x = \ dfrac {x} {1!}-\ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!}-\ dfrac {x ^ 7} {7!} … \ tag * {}
그래서 방금 \ sin x에 대한 Maclaurin 시리즈를 복구했습니다. 죄송 합니다만, 어쨌든 이미 다른 것을 증명하고 있기 때문에 그 증거를 포함 할 필요가 있다고 느꼈습니다.
이것은 확실히 \ sin x에 대한 실행 가능한 확장이지만 Euler는 다른 접근 방식을 취했습니다. \ sin x, \, x \ in [-\ pi, \ pi]의 그래프를보십시오. x =-\ pi, \, 0, \, \ pi에 0이 있음을 알고 있으므로이 그래프를 모델링하면-\ pi, \, 0, \에 0이있는 3 차 함수를 작성할 수 있습니다. \ pi.
f (x) = x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}
다음과 같이 표시됩니다.
물론, 이것은 f (x) = \ sin x와별로 비슷해 보이지는 않지만 상수에 의한 기능. 많은 조작 끝에 그래프를 \ sin x에 가장 잘 맞추는 상수가 \ frac {1} {\ pi ^ 2}임을 알 수 있습니다.
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {} p의 새로운 그래프를 보겠습니다. >
정확하지는 않지만 훨씬 낫습니다. 여기서 함수를 조작 해보면 나중에 왜 이런 일이 발생하는지 알 수 있습니다.
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi -x) \ tag * {}
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi + x) \ cdot \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi- x) x \ tag * {}
f (x) = x \ left (1+ \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ left (1- \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ tag * {}
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ tag * {}
그러나 우리는 전체 함수를 근사화하지 않았습니다. 이를 위해 x = 2 \ pi, \,-2 \ pi에 새 0을 추가하는 새 항을 결정해야합니다. 대수를 다시 표시하지 않을 것이며 원하는 경우 자유롭게 확인할 수 있지만 새 함수는 다음과 같습니다.
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ tag * {}
그리고 다음 새로운 0을 받기 위해 새로운 항을 추가하는 패턴으로, 새로운 함수는 \ sin x를 완벽하게 모델링합니다.
f (x) = \ sin x = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ 오른쪽) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag {4}
그리고 여기 나란히있는 그래프입니다.
* 정확하지는 않지만 7 개 용어로 작성된 그래프입니다. . 무한이 될 때까지 외출 할 수 없었던 것을 사과했지만 밤새도록하지 않았습니다. 하지만이 그래프의 목적은이 그래프와 \ sin x 사이의 유사점을 보여주는 것이기 때문에 충분합니다.
우리는 거기에 도달 했으니 준비하세요! 원하는 경우이 답변을 클릭하지 않고 여기에서 끝낼 수 있는지 확인하세요. 그렇게하시면 행운을 빕니다!
순수한 고문을 당할 것이므로 곱해주세요 (4). 우리가 미쳐 버릴 필요가 없기 때문에 대수를 건너 뛰겠습니다.
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right ) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ 오른쪽) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ 오른쪽) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag {4}
f (x) = \ left (x- \ dfrac {x ^ 3} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag * {}
f (x) = \ left (x + \ left (-\ dfrac {1} {\ pi ^ 2}-\ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3 + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ 오른쪽) …\ tag * {}
여기서부터 x ^ 3 항의 계수에만 초점을 맞출 것이므로 상자에 넣겠습니다.
f (x) = \ left (x + \ boxed {\ left (-\ dfrac {1} {\ pi ^ 2}-\ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3} + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} … \ right) \ tag * {}
좋아요. 이제 다음 항에 첫 번째 항을 곱해 보겠습니다. 다시 말씀 드리지만, 대수학 부분에서 벗어나겠습니다.
x + \ boxed {\ left (-\ dfrac {1} {\ pi ^ 2}-\ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2}-\ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}
여기에서 x ^ 3의 계수가 어떻게 생겼는지 알 수 있습니다. 우리는 패턴을 따르고 모든 항에 대해 계속 발생할 것이라고 가정 할 수 있기 때문에 더 이상 대수를 할 필요가 없습니다. 그런 다음이 무한 합을 \ sin x에 대한 Maclaurin 시리즈와 비교합니다.
\ sin x = x + \ boxed {\ left (-\ dfrac {1} {\ pi ^ 2}- \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2}-\ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2}-\ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2}-\ enspace … \ enspace \ right) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}
\ sin x = \ dfrac {x} {1 !}-\ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!}-\ dfrac {x ^ 7} {7!} + \ dfrac {x ^ 9} {9!} -\ dfrac {x ^ {11}} {11!} + … \ tag * {}
계수 비교를 통해
-\ dfrac {x ^ 3} {3!} = \ left (-\ dfrac {1} {\ pi ^ 2}-\ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2}-\ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2}-\, … \ right) x ^ 3 \ tag * {}
양쪽에서 x ^ 3을 제거합니다.
-\ dfrac {1} {3 !} =-\ dfrac {1} {\ pi ^ 2}-\ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2}-\ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2}-\, .. . \ tag * {}
양쪽에 -1 곱하기 :
\ dfrac {1} {3!} = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} + \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} { (5 \ pi) ^ 2} + … \ tag * {}
\ pi ^ 2 곱하기
\ dfrac {\ pi ^ 2} {3!} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} { 5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
3을 평가하세요! 그리고 있습니다 :
\ dfrac {\ pi ^ 2} {6} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1 } {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
Euler의 실제 정체성.
인용 :
제 교수 : Tan Nguyen
답변
오 이런, 완전히 망쳤군요! 질문하는 방법이 아닙니다. 켜세요 !
다음과 같이 질문합니다.
\ displaystyle \ lim\_ {n \ to \ infty} e ^ {-n} \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} \, \, \ text {?}
그런 다음 편안히 앉아 모든 사람이 분명히 1이라고 말하는 광경을 즐기며 이유를 설명합니다. 증명이 필요하지만 어쨌든 증명 해달라고 요청하고 시도하고 실패 (또는 더 나쁜 경우 : 성공)하고 그들이 여전히 1이라고 생각하는지 물어 보면 그래도 일부 자신감은 사라졌습니다. 정확히 100 \% 할인된다는 사실을 알릴 때까지 기뻐하는 한 계속 플레이합니다.
그러면 왜 모든 사람들이이 제한이 1이라고 생각하고 그것이 사실이 아니라고 생각합니까? 실제로 \ frac {1} {2}입니까?
n 매우 큰 경우 \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!}의 합계는 e ^ n. 권리? 지수 함수의 Taylor 급수 일뿐입니다. 그래서 우리는 그것에 e ^ {-n}을 곱하고 약 1을 얻습니다. 그리고 우리가 n을 키우면 이것은 점점 더 정확 해집니다. 따라서 한계는 단순히 1이되어야합니다. 제 말은 있다 .
맞습니까?
틀 렸습니다.
그렇다면 여기서 무엇이 문제입니까? 글쎄, 당신은 Taylor 사업에 대해 약간 불편 함을 느낄 수 있습니다. 내 말은, 합
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {x ^ k} {k!}
Taylor의 부분합입니다. 일련의 e ^ x이므로 n \ to \ infty로 고정 x에 대한 한계는 실제로 e ^ x입니다. 그러나 여기서 우리는 약간 의심스러운 일을하고 있습니다. 우리는 n에게 거듭 제곱 범위와 멱급수의 변수로 이중 의무를 수행하도록 요청합니다.
어쨌든 한 가지는 분명해야합니다. 성명서
\ displaystyle e ^ n =? = \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {k = 0} ^ {n} \ frac {n ^ k} {k!}
는 전혀 의미가 없습니다. 변수 n은 왼쪽에서 자유롭고 오른쪽에서 바인딩됩니다.
좋습니다. 순진한 해석이 창 밖에 있습니다. 이 한계를 어떻게 평가할 수 인가요?
이 문제를 해결하는 아름답고 뛰어난 방법이 있습니다. 이것은 다음과 같이 진행됩니다 : 이것은 정확히 예상보다 작은 매개 변수 \ lambda = n을 가진 랜덤 포아송 변수의 제한 확률입니다. 이러한 변수는 매개 변수가 \ lambda = 1 인 n 개의 독립적 인 포아송 변수의 합처럼 분포되며, 그러한 합 (여기서는 중요하지 않은 \ sqrt {n}은 분산으로 정규화 됨)은 분포에서 정규 분포로 수렴됩니다. 분포. 정규 랜덤 변수가 평균보다 작을 확률은 얼마입니까? 물론 \ frac {1} {2} 인 이유입니다. 끝난. QED.
잠깐, 뭐요?
예, 정말로 요. Central Limit Theorem에 대해 알고 있다면, 랜덤 변수 X\_1, X\_2, \ l 각각 Poisson (1) 점을 취하면 정확히 말한 것입니다. 랜덤 포아송 변수에 CLT를 적용하는 좋은 일상적인 연습.
하지만 CLT에 대해 모르거나이 한계를 확률로 해석하는 일이 발생하지 않았다면 어떨까요?
그럼 솔직히 말해서 어려운 문제. CLT는 이론의 상당 부분을 숨기고 사실상 무료로 제공하는 강력한 정리입니다. 그것 없이는 당신 혼자서 여기에 있고 저는 이것을 증명하는 정말 쉬운 방법을 모릅니다. 몇 가지 영리한 통합 조작 및 변환이 필요합니다.