최상의 답변
파이프는 원통형이므로 원통형 좌표를 구할 수 있습니다. z 방향으로 정렬 할 파이프의 축을 고려하십시오. 중력은 음의 y 방향을 따라 작용합니다. 그리고 x 방향에는 흐름이 없습니다. 입구에 압력 p1을 적용하고 출구에 p2를 적용한다고 가정합니다. (p1> p2).
흐름은 층류로 간주됩니다. 즉, 레이놀즈 수는 000이고 완전히 발달 된 것은 z 방향을 따라 속도에 변화가 없으며 압축 할 수 없음을 의미합니다.
For 모든 비압축성 흐름 (마하 수 .3), 질량 보존 방정식은 다음을 제공합니다.
\ nabla \ cdot \ mathbf V = 0
비압축성에 대한 Navier-Stokes 정리-뉴턴 (일정 점도 ) 흐름은
ρ * (\ dfrac {\ partial V} {\ partial t} + (\ mathbf V \ cdot \ nabla) * V) =-\ nabla p + ρ \ cdot \ vec g + μ * \ nabla ^ 2 V
원통 좌표계의 질량 균형은 다음과 같습니다.
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial ( rV (r))} {\ partial r} + \ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial (V (θ))} {\ partial θ} + \ dfrac {\ partial (V (z) )} {\ partial z} = 0
그러면
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial (rV (r))} {\ 부분 r} = 0
θ 방향으로는 속도가없고 z 방향으로는 흐름이 없기 때문입니다.
그래서
rV (r)는 상수, 이제 r = R, V (r) = 0 (슬립이없는 상태로 인해 실험적 사실로 인해), V를 의미합니다. (r) = 0, 상수는 0이 될 것입니다.
이제
중력은 y 방향입니다 :
\ hat \ jmath = sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ)
그렇다면 -g \ hat \ jmath = -g (sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ))
지금 r- 운동량 방정식 작성 :
0 =-\ dfrac {\ partial p} {\ partial r} + -ρgsinθ
θ 운동량 방정식 작성
p>
0 =-\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial p} {\ partial θ} + -ρgcosθ
이 두 방정식을 결합하면 다음과 같이됩니다.
p =-ρgy + f (z)
이제 최종 z 운동량 방정식 작성 :
ρ * (\ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial t } + V (r) \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r} + \ dfrac {V (θ)} {r} \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial θ} + \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial z} =-\ dfrac {\ partial p} {\ partial z} + ρg (z) + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial ( r \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r})} {\ partial r} + 0 + 0)
흐름이 축 대칭이고 완전히 발달 되었기 때문에 마지막 두 항은 0입니다.
모든 가정을 고려하고 중력은 z 방향이 아닙니다.이 방정식은 다음으로 축소됩니다.
-\ dfrac {\ partial p} {\ partial z} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial (r \ dfrac {\ partial V (z )} {\ partial r})} {\ partial r}) = 0
-\ dfrac {\ partial p} {\ partial z} = \ dfrac {\ delta p} {L}
여기서 L은 파이프의 길이입니다.
그래서
\ dfrac {\ delta p} {L} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial (r \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r})} {\ partial r}) = 0
경계 조건은 z =에서 V (z)가됩니다. R과 z = 0은 0 (슬립 조건 없음)이됩니다.
따라서 파이프의 속도 프로파일은 r의 함수로 계산할 수 있습니다.
V는 다음의 함수로 z 방향으로 r,
V (r) = \ dfrac {\ delta p} {μL} \ cdot R ^ 2 / 4 [1-r ^ 2 / R ^ 2]
포물선 형 프로파일입니다.
체적 유량 Q는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
Q = \ int V \ cdot \ hat n \, dA
이 제공합니다.
Q = \ dfrac {π * δP * R ^ 4} {8 * μ * L}
이제 귀하의 질문에 관한 한 층류 만 가능하므로 위의 공식을 적용하여 파이프 내부의 압력을 계산할 수 있습니다.
희망 도움이됩니다!
답변
귀하의 질문이 이상합니다. 파이프 내 압력은 파이프 치수를 넘어서는 요인에 따라 달라집니다. 기본적으로 압력은 단위 면적당 힘입니다. 간단한 기하학적 문제인 파이프의 내부 표면적에 대한 방정식을 얻을 수 있지만, 파이프를 통해 밀어 넣는 가스 나 액체의 유형에 대한 지식 없이는 내부 압력을 결정할 수 없습니다. 또한 물질의 부피와 의도 한 유속을 알아야합니다.이 모든 것을 고려하여 힘을 생성 한 다음 압력에 대한 내부 표면적을 나눕니다.