정답
우리는 \ pi = \ frac {C} {d} 여기서 C와 d는 원주와 지름 (각각)입니다.
\ pi가 정수가 아니라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이를 수행하는 한 가지 방법은 예를 들어 컵을 사용하여 단순히 원을 만드는 것입니다. 줄로 둘레를 측정 한 다음 자로 줄의 길이를 계산합니다. 또한 직경을 측정하십시오. \ pi가 3보다 크지 만 4보다 작다는 것을 곧 믿어야합니다. \ pi는 원의 크기에 의존하지 않는다고 스스로 확신 할 수도 있습니다.
또한 금속판 ( 또는 젖은 마분지가 작동) 두 가지 모양을 잘라내십시오. 하나는 측면 길이가 1 인 정사각형입니다. 다른 하나는 반경이 1 인 원입니다. (민감한 눈금이있는 경우) 원의 무게가 약 3.14 배 더 무겁다는 것을 알 수 있습니다. 사각형으로. 가중치의 비율은 (이상적으로) \ pi입니다.
아르키메데스의 고갈 방법 ( Archimedes “방법 )을 사용하면 ( Archimedes처럼) \ pi는 3 \ frac {1} {7}보다 작지만 3 \ frac {10} {71} 이상이라고 결론지었습니다.
이제 \ pi가 정수가 아님을 압니다. . 반복 소수 (유리수) 또는 반복되지 않는 소수 일 수 있습니다. 사실 반복되지 않는 소수입니다. 우리는이 숫자를 비합리적이라고합니다. \ pi가 비이성적이라는 기본 증거를 찾을 수 없습니다. 그러나 이것은 최소한 매우 짧고 미적분만을 사용합니다 : $ \ pi $가 비합리적이라는 간단한 증거 .
이것이 대답 할 수 있습니다. 귀하의 질문입니다.
하지만 “유한 한 많은 정수를 사용하는 \ pi에 대한 자연적인 대수적 설명이 있는가”를 의미 할 수 있습니다. 이를 공식화하는 가장 자연스러운 방법은 \ pi가 합리적 계수를 갖는 다항식의해라 고 가정하는 것입니다. 예를 들어 \ sqrt {2} 숫자는 비이성적이지만 정수를 사용하는 간단한 설명이 있습니다. 방정식
x ^ 2-2 = 0.
\ sqrt {2}가 비이성적이지만 (1,0, -2)로 간결하게 인코딩 될 수 있습니다. x ^ 2 + 0x-2의 계수.
정수를 사용하여 이러한 방식으로 이름을 지정할 수있는 숫자를 “대수”라고합니다 ( 대수-Wikipedia ).
\ pi는 대수도 아닌 초월 적 숫자입니다 ( 초월 적 숫자-Wikipedia ). .
Lindemann–Weierstrass 정리-Wikipedia 를 수락하면 \ pi가 초월 적이라는 주장은 쉽습니다.이 정리는 \ alpha는 대수이고, e ^ \ alpha는 초월 적입니다. \ pi가 대수이면 \ pi i도 마찬가지입니다 ( 두 대수의 합과 곱이 대수임을 증명하는 방법은 무엇입니까? ). 그러나 Euler의 정체에 따르면 e ^ {\ pi i} = -1입니다. -1은 초월 적이 지 않습니다. 따라서 \ pi는 대수가 아닙니다.
답변
18 세기에 Johann Heinrich Lambert는 숫자 π (pi)가 비합리적이라는 것을 증명했습니다. 즉, 분수 a / b 로 표현할 수 없습니다. 여기서 a 는 정수이고 b 는 0이 아닌 정수입니다. 19 세기에 Charles Hermite는 기초 미적분 이상의 전제 지식이 필요하지 않은 증거를 발견했습니다. Hermite의 증명에 대한 세 가지 단순화는 Mary Cartwright, Ivan Niven 및 Bourbaki에 의한 것이고 Lambert의 증명의 단순화 인 또 다른 증거는 Miklós Laczkovich에 의한 것입니다. 1882 년 Ferdinand von Lindemann은 π가 비합리적 일뿐만 아니라 초월적임을 증명했습니다.
Lambert의 증명
1761 년에 Lambert는 계속 된 분수 확장이 유지됨을 처음으로 보여줌으로써 π가 비이성적임을 증명했습니다.
그런 다음 Lambert는 x 가 0이 아니고 합리적이면이식이 비합리적이어야 함을 증명했습니다. tan (π / 4) = 1에서 π / 4는 비합리적이므로 π는 비합리적입니다.
Hermite의 증명
이 증명은 π의 특성화를 코사인 함수의 아 제로인 가장 작은 양수로 사용하며 실제로 π2가 비합리적임을 증명합니다. 비합리성에 대한 많은 증거에서와 같이 논쟁은 불합리한 환원으로 진행됩니다.시퀀스 ( An ) n ≥ 0 및 ( Un ) n R 의 함수 중 0 개 이상 R 은 다음과 같이 정의됩니다.
귀납법으로 증명할 수 있습니다.
그리고 저것
그러므로
그래서
A 0 ( x ) = sin ( x ) 그리고 A 1 ( x ) = − x cos ( x ) + sin ( x ), An ( x )은 Pn ( x 2) sin ( x ) + x Qn ( x 2) cos ( x ), 여기서 Pn 및 Qn 은 정수 계수가있는 다항식 함수입니다. 그리고 Pn 의 차수가 ⌊ n / 2⌋보다 작거나 같습니다. 특히 An (π / 2) = Pn (π2 / 4)입니다. Hermite는 또한 An 함수에 대해 닫힌 표현식, 즉
그는이 주장을 정당화하지는 않았지만 쉽게 증명할 수 있습니다. 우선,이 주장은
유도 진행, n = 0.
귀납적 단계의 경우 n ∈ Z 를 고려합니다. +.
그런 다음 부품 별 통합 및 Leibniz의 규칙을 사용하면 가져 오기
If π2 / 4 = p / q , p 및 iv id N 의 = “93ad14bdaa”>