Beste svaret
Si, 2 ^ 32 + 1 kan deles med m.
Så, 2 ^ 32 = -1 (mod m)
(2 ^ 32) ^ 3 = (- 1) ^ 3 ( mod m)
2 ^ 96 = -1 (mod m)
2 ^ 96 + 1 = 0 (mod m)
Så riktig svar er 2 ^ 96 + 1
Svar
Det gjør du ikke. Se for eksempel hva som skjer når x = 12. Du får x ^ 2 = 144 = 24 \ cdot 6, men x er ikke delelig med 24.
Jeg kunne stoppet her, men det ville ikke vært lærerikt , bortsett fra å si at du tar feil. Det er ikke spesielt nyttig.
Tross alt kan jeg bevise at hvis k | x ^ 2 (les det som “k deler x ^ 2), så k | x for mange k, inkludert 21, 22, 23, 26, 29 og 30, men ikke for 20, 24, 25, 27 eller 28. Hva er forskjellen? Det er der ting blir interessante og lærerike.
Hva vet vi om x? Vi vet, ved den grunnleggende teoremet for aritmetikk, at x kan representeres unikt som et produkt av primtall, x = 2 ^ {a\_2} 3 ^ {a\_3} 5 ^ {a\_5} \ cdots. Alle (eller alle, for x = 1) av disse a\_p-verdiene kan være 0, og faktisk er bare et endelig antall av dem ikke-null.
Det betyr at x ^ 2 = 2 ^ { 2a\_2} 3 ^ {2a\_3} 5 ^ {2a\_5} \ cdots. Alle eksponentene er nå jevne.
Hva vet vi om k? Av samme teorem vet vi at k = 2 ^ {k\_2} 3 ^ {k\_3} 5 ^ {k\_5} \ cdots.
Hvordan har dette sammenheng med delbarhet? Hvis k | x ^ 2, det betyr at k\_2 \ leq 2a\_2, k\_3 \ leq 2a\_3, \ prikker, k\_p \ leq 2a\_p, \ prikker. Imidlertid, hvis k | x, det betyr at k\_2 \ leq a\_2, k\_3 \ leq a\_3, \ dots, k\_p \ leq a\_p.
Så alt vi virkelig trenger å gjøre for å bevise om x ^ 2 er delelig med k, så x er delelig med k er vis at hvis k\_p \ leq 2a\_p, så k\_p \ leq a\_p. Siden k\_p, a\_p kan være et hvilket som helst ikke-negativt heltall, så kan vi se på det enklere problemet: under hvilke forhold har vi b \ leq 2c som innebærer b \ leq c?
I utgangspunktet prøver vi å finne verdier av b der uttrykket c \ leq 2c ikke holder for noen c. Siden det ikke er c , fungerer b = 0. For b = 1 blir vi tvunget til å ha c = 0 , og så 1 \ ikke \ leq 2c = 0, så b = 1 fungerer.
Men for b> 1, gjør det ikke arbeid. Du kan alltid velge c = b-1
For å bringe dette tilbake til problemet vårt, betyr det at vi kan si k | x ^ 2 \ innebærer k | x bare når eksponentene for primtall i k er enten 0 eller 1. Disse verdiene av k kalles «kvadratfrie» fordi du ikke kan dele dem med et kvadratnummer.
Så du kan vise k | x ^ 2 \ innebærer k | x hvis k er kvadratfri.
For tallene jeg så på ovenfor, er 20 delbart med kvadrat 4, 24 er delbart med kvadrat 4, 25 er kvadrat, 27 er delbart med kvadrat 9 , 28 kan deles med firkanten 4. De andre tallene, 21, 22, 23, 26, 29, 30, er alle firkantsfrie, som du kan sjekke om du vil.