Beste svaret
Jeg lærte en gang noen ungdomsskoleelever matematikk på en eksklusiv privatskole. Jeg hadde en student som var arrogant og irriterer meg og de andre studentene hele tiden. Administrasjonen støttet ikke mine forsøk på å disiplinere ham. Jeg kom opp med denne løsningen:
Jeg fortalte ham at hvis han kunne finne et mønster til primtall, slik at han kunne forutsi det neste, kunne han tjene mye penger og bli kjent. Han likte denne utfordringen og begynte å vie seg til den. Han hadde sider og sider med beregninger og plaget meg aldri mer. Hver gang en stund viste jeg interesse for arbeidet hans, og han sa noe som «Jeg tror jeg er på vei til noe …»
Jeg visste at han ikke ville finne noe, fordi jeg visste at det ikke er noe mønster for primtall. Det kan være noen lokale områder der det ser ut til at det er et mønster, men det er ikke noe generelt mønster og ingen formel for å forutsi NESTE primtall uten TESTING.
Tenk på det på denne måten. Du er en paleolittisk mann som finner ut at 2, 3, 5, 7, 11 og 13 er førsteklasses. Du lurer på hva neste prime blir. Det er ingen måte å finne det uten noen testing. Du kan teste 14. Nei. 15, Nei. 16, Nei. 17, Bingo.
Du trenger bare å teste faktorene til og med kvadratroten til tallet (i tilfelle 17: 2, 3 og 4) fordi neste tall blir for stort, men du trenger å teste. Denne testen tar LONG TIME beregningsmessig. Dette er det nåværende grunnlaget for kryptografi. Hvis vi kunne forutsi neste prime, ville alle passordene våre være nakne.
Matematikere ser ut til å hate å innrømme at det er dette CHAOS midt i tall, men det er, og jeg synes det er nydelig.
Hvordan vet jeg at det ikke er noe mønster?
Mønster: (ordboksdefinisjon) • en ordning eller sekvens FUNN regelmessig i sammenlignbare objekter eller hendelser. • en vanlig og forståelig form eller sekvens som kan sees i visse handlinger eller situasjoner. GJENTAKNING innebærer MULTIPLIKASJON fordi MULTIPLIKASJON er GJENTOMMELIG TILLEGG. Multiplikasjon innebærer FAKTORER, og vi kan ikke ha faktorer hvis den er primær.
Beregn: (definisjon) bestem matematisk (mengden eller antallet av noe). Vi bestemmer ikke om et tall er hovedmatematisk. Vi gjør det EKSPERIMENTELT.
Jeg tror at primtelefoner ikke har et MØNSTER, men ser ut til å ha visse TENDENSER. De pleier å bli mer SPARSE ettersom mengdene øker, men så plutselig… ser dere to sammen. Disse kalles tvillinger. Eksempler: (41, 43), (137, 139). Ingen vet om tvillinger, som primer, er uendelige. Det er ikke bevist.
Wikipedia: “Det nåværende største twin prime-paret som er kjent er 2996863034895 · 2 ^ 1290000 ± 1 med 388 342 desimaltegn. Den ble oppdaget i september 2016. ” Twin prime – Wikipedia
Som med selve primtalene, er det ingen f *** ing måte å forutsi når disse tvillingprimene kommer langs. (Det KAN VÆRE mulig å bevise om de noen gang slutter. Prøv det.)
Noen tror at det er «mønstre» i Ulam Spiral. Ulam spiral – Wikipedia
Hvis du laster ned figuren og sprenger den, vil du se at noen rette linjer dukker opp og deretter forsvinner. Primtall er uendelig. Så selvfølgelig, statistisk (i vårt ARBITRARY Base 10-system), vil det noen ganger vises noen rette linjer, som når du snur mynter, vil du noen ganger få et stort løp med hoder.
(Ulam Spiral bruker også firkanter. Jeg tror en annen spiral vil dukke opp hvis du bruker andre arealfyllende former: trekanter eller sekskanter.)
Vitenskap handler om å finne mønstre for å forutsi. Vi kan forutsi når neste måneformørkelse blir, vi kan forutsi når solen kommer opp i morgen, vi kan forutsi når vannet vil fryse og koke, men vi KAN ikke forutsi neste primtall.
Sammendrag: Du kan hente slangen, men du vet ikke hvilken vei den vil vri seg.
Merk: Dette svaret er stort sett basert på mitt forrige svar her:
Bill Lauritzens svar på Er det en premie til den som oppdager mønsteret i primtall?
Svar
Det er sant at fordelingen av primtall kan virke tilfeldig (og det er til en viss grad.) Imidlertid gir verktøyene til analytisk tallteori oss avgjørende innsikt i fordelingen av primtallene og avslører mange interessante mønstre
La \ pi (x) representere antall primtall \ leq x der x er en positiv reell variabel.
I følge primtalsetning , som jeg ikke kjenner til et fint elementært bevis (det enkleste jeg vet bruker kompleks analyse), følgende gjelder \ pi (x) når x nærmer seg uendelig:
\ pi (x) \ sim \ frac {x} {\ log x}
~ representerer asymptotisk ekvivalens, og hovedideen er at funksjonen \ pi (x) kommer veldig nær funksjonen \ frac {x} {\ log x}, med tilnærmingen som blir bedre og bedre etter hvert som x blir større og større.
For de som er kjent med elementær beregning, er f (x) \ sim g (x) hvis grensen når x nærmer seg uendelig av \ frac {f (x)} {g (x)} er 1.
Som vanlig i høyere matematikk representerer logg den naturlige logaritmen. Dette innebærer også at hvis p (n) representerer den niende prime, så:
p (n) \ sim n \ log (n)
En annen enkel samler er at hvis du velger et tilfeldig heltall fra de første n positive heltallene, sannsynligheten for at det er prim er omtrent \ frac {1} {\ log n}
En annen form for primtallsetningen som er litt mindre intuitiv men empirisk mer nøyaktig er følgende:
\ pi (x) \ sim \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
I begge tilfeller er venstre siden er et heltall mens høyre side er en fryktelig transcendental funksjon (som vi kan evaluere litt lettere enn venstre merkelig nok). I alle fall må det være noen feil hvis vi tilnærmer \ pi (x) som \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
Jeg vet ikke helt den beste feilbundet påvist ennå, men hvis Riemann-hypotesen viser seg å være sant, kan vi forbedre feil bundet til:
\ pi (x) = \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt + O (\ sqrt {x} \ log (x))
På samme måte, hvis feilen er bundet, kan vi også bevise Riemann hypotese. Saken med denne feilen er at den er tett: vi vet at vi ikke kan gjøre det bedre.
Jeg vil si at primtalsetningen sannsynligvis er det viktigste og mest interessante resultatet i analytisk tallteori
tl; dr, primtallene følger asymptotisk en fordeling som er som en relativt enkel analytisk funksjon, så ja det er et mønster.