Beste svaret
Jeg vil presentere dette som om alle er enige, noe som ikke er sant.
Hvert tall, ekte eller komplekst, har to kvadratrøtter som er negasjoner av hverandre. Unntaket er null, som er dets egen negasjon.
Domene kvadratrot kan være reelle tall eller komplekse tall, og konvensjonene er litt forskjellige. La oss først fokusere på kvadratroten av reelle tall.
Det radikale tegnet \ sqrt {x} når det brukes på et reelt tall, betegner rektor eller positiv kvadratrot. Hvis x \ ge 0 så \ sqrt {x} \ ge 0. Så for å svare på spørsmålet med kvalifikasjoner, er den viktigste kvadratroten av et positivt tall alltid positiv, per definisjon.
Den viktigste kvadratroten til en negativ real er en positiv real ganger i. Selv om de komplekse tallene ikke er ordnet, er det en viktig rekkefølge på den imaginære aksen som er analog med den på den virkelige aksen.
Når vi snakker om «kvadratroten», refererer vi vanligvis til hoved kvadratrot. Når vi snakker om «en kvadratrot» mener vi heller. I dette spørsmålet leverer OP ikke en artikkel, så ingen hjelp her.
Når vi har å gjøre med kvadratrøtter av reelle tall, er det veldig viktig at vi forstår
\ sqrt {x} \ ne \ pm \ sqrt {x}
Når domenet er reelt, er \ sqrt {x} en funksjon fra reelle tall til komplekse. Det tar en enkelt unik verdi for hver ekte x. Det er alltid enten 0, et positivt reelt tall eller et positivt reelt antall ganger i. Det er den ene av de to kvadratrøttene som er definert som den viktigste kvadratroten.
Med mindre prinsipielle verdier uttrykkelig blir bedt om, bør kvadratroten til et komplekst tall \ sqrt {z} behandles som en multivalued uttrykk. Så her vil jeg si \ sqrt {z} = \ pm \ sqrt {z}.
Når vi eksplisitt vil ha det flerverdige uttrykket, refererer uttrykket a til begge kvadratrøtter, enten w slik at w ^ 2 = z. Jeg foretrekker \ pm \ sqrt {z}. Men \ pm kan bli forvirrende og tvetydig, så det kan gå begge veier.
Mer kontroversielt behandler jeg det gjensidige naturlige tallet som en eksponent, z ^ {\ frac 1 2}, som det flerverdige uttrykket som refererer til alle røtter, ikke en funksjon.
Nøyaktig hva likeverdighet av flerverdige uttrykk betyr, blir vanligvis glanset over, spesielt det irriterende problemet som 1 ^ {\ frac 1 2} \ ne 1 ^ {\ frac 2 4} . Kanskje.
Svar
Hmm, denne er vanskelig … Så her går:
Kvadratroten er en matematisk funksjon, og dens faktisk navn er positiv kvadratrotfunksjon, som tydeligvis gir alle + ve-verdiene. Årsaken til dette skillet er at i en matematisk funksjon f (x, y) for hver verdi av x, må det være en unik verdi av y. Kvadratroten på 4 kan således ikke være +2, -2, per definisjon! Dermed tar vi som standard bare kvadratrotfunksjonen for å være positiv.
Dette skaper mye forvirring fordi kvadratet til både +2 og -2 er 4, men kvadratroten til 4 kan bare ta verdien av +2, men jeg antar, det er settet med regler som vi overholder. Tenk gjerne på et annet system, der kvadratrotfunksjonen gir både + ve- og -ve-verdiene, selv om jeg forestiller meg at det ville føre til massiv uorden et sted nede i veien. matematikk er i eksperimentering!