Beste svaret
Det korte svaret er, ja, rekkevidde for en matrise er det samme som kolonneplass, men det er en subtilitet.
Gitt noe tall m, kan vi se dette tallet enten som en konstant, eller som et middel til å definere en lineær funksjon, f (x) = mx. På samme måte kan vi se en matrise \ mathbf {M} enten som en rekke tall (kjedelig), eller som et middel til å definere en lineær funksjon f (\ mathbf {x}) = \ mathbf {M} \ mathbf {x}.
Begrepet område refererer til settet med utganger som f () kan returnere, og er vanligvis definert som en egenskap av funksjoner, ikke tall.
kolonneområdet , derimot, er vanligvis definert som en egenskap for selve matrisen. Og siden kolonneområdet er settet med alle mulige lineære kombinasjoner (aka span ) av kolonnene til \ mathbf {M}, dette kan skrives som \ {\ mathbf {M} \ mathbf {x} | \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} \}, som er selve -området av f ovenfor.
Svar
Området til en matrise er området for matrisen sett på som en lineær transformasjon. En n-by-p (ekte) matrise A er også en lineær transformasjon fra R ^ p til R ^ n (det p- dimensjonale euklidiske rommet til det n-dimensjonale euklidiske rommet.) Domenet er R ^ p og området består av alle lineære kombinasjoner av A-kolonnene, dvs. settet \ {Ax: x \ i R ^ p \} (xa kolonnevektor.)
Hvis A har rang p, så har området rang p, og dette er mulig hvis n> = p.
Det samme gjelder for en kompleks matrise A som en lineær transformasjon fra C ^ p til C ^ n hvor C er feltet for komplekse tall.