Beste svaret
Ja.
Den ligger utenfor trekanten.
H er ortosentret til \ Delta ABC.
Vær også oppmerksom på at \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Svar
Hvordan finner du omgrensingspunktet og ortosentret til en stumpvinklet trekant som ligger utenfor trekanten?
En måte å bestemme omskjæringspunktet og ortosentret for hvilken som helst trekant, stump eller ikke, er ved å bruke vektorer og matriser.
Intro:
Det er litt involvert, så det vil ikke være hvilket som helst rom for å vise beregningene.
La oss si at vi har en trekant med hjørnene A, B og C, og at lengden på motsatt side er henholdsvis a, b og c.
Vi definerer tre vektorer: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) og \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ left (BC \ right).
Nå, synd ce-vektorer er matriser, kan vi bruke matriksformat der en T etter en vektor betyr at den transponeres. Så \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2}, og \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. Dette er faktisk prikkprodukter.
For å unngå forvirring vil jeg også bruke betegnelsen \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2}, og \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Så, u \ equiv c, v \ equiv b , og w \ equiv a. Jeg vil også bruke en lue til å representere en enhetsvektor, som bare er en vektor som er delt av sin egen lengde og dermed har en lengde på 1. For eksempel \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Transformasjonsmatrise:
Vi definerer nå en transformasjonsmatrise. Hvis vi arbeider i 2-dimensjoner vil det være en 2×2 matrise, og hvis vi arbeider i 3-dimensjoner vil det være en 3×3 matrise. Merk at \ theta\_ {A} er vinkelen mellom \ vec {u} og \ vec {v}, som er vinkelen ved toppunkt A.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
Vi bruker transformasjonsmatrisen til å definere en annen vektor.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {u} -u ^ {2} \ left (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = R \ vec {w}
Formler:
La H være ortosentret, som er det punktet hvor alle tre høyder i en trekant krysser hverandre. En høyde løper fra hvert toppunkt på en linje som er vinkelrett på det motsatte benet.
La Q være snittet, som er det punktet hvor de vinkelrette halveringslinjene på alle tre sidene i en trekant krysser hverandre. Det er midten av omkretsen, som er en sirkel som inkluderer alle de tre hjørnene i en trekant.
Nå, med litt arbeid, kan det nå utledes at
\ quad \ begynn {array} {l} H = \ vec {A} + \ left (\ vec {u} + \ vec {v} \ right) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
Ved å bruke toppunktene i den nevnte trekanten som vektorer, kan vi konvertere disse til symmetriske formler.
\ begin {array} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right) – \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ høyre) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ høyre) \ vec {B} + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ right)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B } + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ høyre) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {array}
Merk at ingen kvadratrøtter og ingen trigonometri er du må finne de to sentrene.