Beste svaret
2 + 2 =? ser ut til å være et av de enkleste problemene i matematikk, og sannsynligvis en av de første du noen gang har opplevd. Hvis Kate har 2 epler og Matt gir henne 2 epler til, så har hun 4 epler. Åpenbart.
Men hva om vi fortalte deg at 2 + 2 =? har stubbet til og med noen av de smarteste matematikerne fordi den ikke nødvendigvis må være lik 4? Du lurer sannsynligvis på hvordan det er mulig. Et bevis er: et sett med logiske trinn ervervet gjennom deduktive (derfor ikke gjør noen gigantiske sprang i logikk, med mindre per definisjon), og dermed empirisk (fra bevisene som er gitt) som resulterer i en direkte ekvivalens (å være blant andre typer ekvivalens, men først og fremst i permutasjon, multiplikativ / additiv og negativ / positiv / til og med / odd. .. meta-matematisk) av tilstander, at «den korteste avstanden er (i absolutte termer), enten uendelig, null og / eller også en.
Virkelig det forsøkte» beviset «på 2 + 2 = 5 er basert på en forvrengt type trigonometri, som i hovedsak var kilden til dagens beregning (bare prøv å tegne Tangent eller Secant uten å løpe inn i ideen om Calculus, henholdsvis derivat og integral), og faktisk er resultatet av en additivekvivalens av to tall «til å være lik et hvilket som helst tall, (b fordi måling av hypotenus av en gitt side er i det vesentlige multiplikativ, derav delvis irrasjonell.
(Hvilket får meg til å lure på … er det en 2 * 2 = 5 ekvivalent? og svaret er et rungende, ja! Men først «beviset» som skrevet av Charles Seife.)
La a = b og a og b = 1. Sjekk dette ut …
b ^ 2 = ab … (ekv.1)
Siden a er lik seg selv, er det åpenbart at
a ^ 2 = a ^ 2 … (ekv.2)
Trekk ligning 1 fra ligning 2. Dette gir
a ^ 2-b ^ 2 = a ^ 2-ab. .. (ligning 3)
Vi kan faktorisere begge sider av ligningen; (a ^ 2) -ab er lik a (a-b). På samme måte er a ^ 2-b ^ 2 lik (a + b) (a – b) (Ingenting fishy foregår her. Denne påstanden er helt sant. Plugg inn tall og se selv!) Ved å erstatte i ligningen 3, vi få
(a + b) (ab) = a (ab) … (ekv.5)
Så langt, så bra. Del nå begge sider av ligningen med (ab), og vi får
a + b = a … (ekv.5)
b = 0 … (ekv. 6)
Men vi setter b til lik 1 helt i begynnelsen av dette beviset, så dette betyr at
1 = 0 … (lik 7)
… Uansett, når vi kommer så langt, får vi beviset, senere i beviset fortsetter Charles Seife med å bevise at Winston Churchill var en gulrot! Hvis du vil vite hvordan det er mulig, anbefaler jeg at du leser boka.
Fra ligning 7, legg til et tall på hver side og få det til å være lik et hvilket som helst annet tall, et større enn seg selv.
Multiplikasjon av ligning 7 etter å ha lagt til den, og man kan få: hvilket som helst tall er lik et hvilket som helst annet tall.
Derfor er konseptuelt ethvert tall lik null, og teoretisk sett inkluderer uendelig. Men det er også grunnen til at når du deler med null, er det «Udefinert.» Som følgelig er det som skjer i denne ligningen … bare erstatt 1 i ligning 3, og man vil se at vi deler med null i ligning 5.
Dette er det som førte til oppfinnelsen av kalkulatoren. Virkelig, herfra skiller dette seg ut i Hilbert Space … men det er best igjen for en annen oppføring, forhåpentligvis, om det faktiske kvantiseringsemnet .
Det er alt jeg har tid til …
DETTE BEVISET ER AV DEFINISJON FELSK, men det gir et godt verktøy for hvorfor vi definerer ting i matematikk slik vi gjør.
Et godt spørsmål å stille herfra vil være (basert på min forrige tangens):
Gjør 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1? Eller tilsvarer det bare null punkt ni gjentakelse? Kilde: Zero: Biography of a Dangerous Idea av Charles Seife
Svar
Jeg begynner med å anta base 10.
Peano introduserte disse aksiomene i et forsøk å formalisere regning. Selv om det i seg selv ikke har vist seg å være konsistente, antas de å være som sådan, med rimelighet. Selv om jeg normalt ikke anser 0 for å være et naturlig tall, gjør det denne prosessen litt enklere, å starte med å definere null som det første naturlige tallet, dvs. 0 \ in \ mathbb {N}.
Peano fortsetter deretter med å definere følgende om likheter med naturene:
- Likhet er symmetrisk . (dvs. \ alpha = \ beta \ innebærer \ beta = \ alpha)
- Likhet er refleksiv . (dvs. \ alpha = \ alpha for all naturlig \ alpha)
- Likhet er transitive . (dvs. hvis \ alpha = \ beta og \ beta = \ gamma, så \ alpha = \ gamma)
- Naturene er stengt under likeverd. (hvis \ alpha er et naturlig tall, og \ alpha = \ beta, \ beta er også et naturlig tall)
Vi må nå introdusere etterfølgerfunksjonen, som er injeksjonsmiddel , (S (\ alpha) = S (\ beta) \ innebærer \ alpha = \ beta) \ tekst {betegnet} S. Naturals er stengt under etterfølgerfunksjonen.Etterfølgerfunksjonen tar et naturlig tall, og sender ut sin etterfølger. Dvs. S (0) = 1 og S (1) = 2.
Det er ingen tall som 0 er en etterfølger.
Ved å bruke etterfølgerfunksjonen kan vi bestemme den første få natur,
\ mathbb {N} = \ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \ ldots \}, der \ mathbb {N} tolkes som et sett. Det følger derfor at S (0) = 1, S (1) = 2, S (2) = 3, S (3) = 4.
Med det sagt kan vi definere aritmetikk ved å bruke etterfølgerfunksjon.
- Def. 01: \ alpha + 0 = 0 + \ alpha = \ alpha
- Def. 02: \ alpha + S (\ beta) = S (\ alpha + \ beta).
Vi står overfor dette ubehagelige problemet, 2 + 2 som har plaget matematikere i århundrer.
\ displaystyle 2 + 2 \ underbrace {=} \_ {\ text {by def}} 2 + S (1) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def2}} S (2 + 1) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def}} S (2 + S (0)) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def2}} S (S (2 + 0) ) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def1}} S (S (2)) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def}} S (3) \ underbrace {=} \_ {\ text { av def}} 4.
\ derfor 2 + 2 = 4 \ blacksquare.