Beste svaret
#python
print(2**10000)
2844061536738951487114256315111089745514203313820202931640957596464756010405845841566072044962867016515061920631004186422275908670900574606417856951911456055068251250406007519842261898059237118054444788072906395242548339221982707404473162376760846613033778706039803413197133493654622700563169937455508241780972810983291314403571877524768509857276937926433221599399876886660808368837838027643282775172273657572744784112294389733810861607423253291974813120197604178281965697475898164531258434135959862784130128185406283476649088690521047580882615823961985770122407044330583075869039319604603404973156583208672105913300903752823415539745394397715257455290510212310947321610753474825740775273986348298498340756937955646638621874569499279016572103701364433135817214311791398222983845847334440270964182851005072927748364550578634501100852987812389473928699540834346158807043959118985815145779177143619698728131459483783202081474982171858011389071228250905826817436220577475921417653715687725614904582904992 4610286300815355833081301019876758562343435389554091756234008448875261626435686488335194637203772932400944562469232543504006780272738377553764067268986362410374914109667185570507590981002467898801782719259533812824219540283027594084489550146766683896979968862416363133763939033734558014076367418777110553842257394991101864682196965816514851304942223699477147630691554682176828762003627772577237813653316111968112807926694818872012986436607685516398605346022978715575179473852463694469230878942659482170080511203223654962881690357391213683383935917564187338505109702716139154395909915981546544173363116569360311222499379699992267817323580231118626445752991357581750081998392362846152498810889602322443621737716180863570154684840586223297928538756234865564405369626220189635710288123615675125433383032700290976686505685571575055167275188991941297113376901499161813151715440077286505731895574509203301853048471138183154073240533190384620840364217637039115506397890007428536721962809034779745333204683687 95868580237952218629120080742819551317948157624448298518461509704888027274721574688131594750409732115080498190455803416826949787141316063210686391511681774304792596709376
Svar
Det grunnleggende ting om desimal er at det er bare ett av mange skjemaer som brukes til å representere tall. Det er imidlertid en så vanlig form at mange (uten egen skyld) kommer til å knytte nummeret til selve skjemaet. Og hvis to tall har to forskjellige former, må de være forskjellige tall, ikke sant?
Men hva med følgende to tall:
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {and} \ quad \ frac {1} {2}?}
Ganske forskjellige representasjoner , men ved å gå gjennom og gjøre de nødvendige beregningene / kanselleringene, vil du nesten helt sikkert tro meg at disse to formene representerer samme nummer .
Hvorfor?
Fordi når vi blir undervist i brøker, blir vi lært fra et veldig tidlig stadium at to brøker kan være like mange, og at de er i redusert form hvis teller og nevner ikke har noen felles faktorer som overstiger 1.
Og vi holder fast ved det.
Vi er overbevist om det gjennom erfaring og repetisjon av den opplevelsen, og vi kan bruke forskjellige former for å verifisere den opplevelsen.
Ikke så mye med «desimaler», enn si andre posisjonelle former.
Det fine med desimalrepresentasjonene av tall er at for flest tall (i en viss teknisk forstand) er desimalformen faktisk unik (men i de fleste av disse tilfellene – i samme forstand – er det upraktisk å skrive ned i detalj, la oss si det slik).
Det er imidlertid noen få unntak. Med «få» mener jeg at i forhold til hele «mange» tall som i prinsippet (hvis ikke i praksis) kan skrives i desimal.Unntakene er de tallene som er rasjonelle, og deres nevnere (i redusert form) har bare krefter på 2 og / eller krefter på 5.
Verktøyet du trenger for å forstå det, er essensen av en konvergent geometrisk serie.
En konvergent (uendelig) geometrisk serie er en serie av formen
\ displaystyle {\ qquad a + a \ ganger r + a \ ganger r ^ 2 + \ ldots + a \ ganger r ^ n + \ ldots.}
Når serien avsluttes etter et endelig antall ord med høyest effekt N er det ganske enkelt å bekrefte at serien summerer seg til
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a (1-r ^ N)} { 1-r},}
og vi spør hva det vil si å ha en uendelig sum. Den konvensjonelle definisjonen er at vilkårene blir mindre raskt nok til at den totale verdien nærmer seg en endelig grense ettersom N blir vilkårlig stor. Å undersøke denne ideen fører oss til en tilstand, som er at fellesforholdet r må ligge mellom (men ikke være enten) -1 og 1. Eller, | r | , tilsvarende -1 .
Så blir formelen
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r},}
som begrepet r ^ N \ to0.
Husk nå hvordan desimalnotasjon er definert: egentlig er det bare stenografi for en serie av skjemaet
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {align *}}
der k er den høyeste ikke-null-effekten på ti som er mindre enn tallet, og a\_i, b\_j er desimaltegnet (heltall fra null til ni).
Tallet 9.999 \ ldots = 9. \ dot9 er et tall av dette skjemaet, der k = 0, og a\_0 = 9 = b\_j for alle positive heltall j. Heldigvis gir dette oss presist form av en geometrisk serie! (Merk at hvert tall i desimalform der sifrene er forskjellige fra 9 til høyre, er avgrenset over av en serie som denne.)
Vi kan bare plugge inn ting: den første termen er a = 9 , og fellesforholdet er r = \ frac {1} {10} . Så med en gang vet vi at denne serien konvergerer!
Vi får
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
Veldig pent.
Det er selvfølgelig andre triks du kan bruke for å bevise at 9. \ dot9 = 10 (i desimal, uansett …), men det beste (i mitt sinn) er å forstå noe om hva notasjonen betyr og hvordan den fungerer – og da er det lett å ta tak i med det faktum at selv i posisjonsnotasjon ikke hvert tall er representert på bare en måte.
Generelt, hvis vi har en gyldig base b, blir tallet representert i den posisjonsbasen med formen 0. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots er alltid lik 1. Dermed i binær (for eksempel), hvor 0.1 = \ frac {1} {2}, har vi 0.111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. Den uendelige serien «metode» fungerer på samme måte for å bevise dette resultatet.