Beste svaret
Det er mange gode svar skrevet for å hjelpe deg å visualisere hva dette spørsmålet betyr for å intuitivt nå et svar på 3. Og ingenting jeg skriver her er ment å ta noe fra verdien av disse svarene. De hjelper nye studenter til å tenke på sammenhengen mellom matematikk og modellering på en konkret måte, og det er en ENORM ferdighet.
Med det sagt er matematikk ikke modellering. Så en alternativ måte å tenke på dette problemet er fra et rent matematisk perspektiv. Og hvis du utvikler denne ferdigheten, vil du jobbe deg mot å være i stand til å håndtere mer abstrakte matteformer som ofte avslutter matematikkarrieren til studenter som utelukkende stoler på en mer modell-sentrisk, intuitiv tilnærming.
Du spurte «Hva er 3/4 delt på 1/4?»
Akkurat der midt i spørsmålet ditt, brukte du begrepet «delt på.» For en matematiker er det en anelse om umiddelbart å slå opp DEFINISJONEN av divisjon. Definisjoner er mursteinene som matematikken bygger på.
En definisjon av divisjon (i denne sammenhengen) er:
Gitt to tall, a og b (med b \ ne 0), a delt på b er c hvis c ganger b er lik a.
Så nå vet jeg hva «delt med» betyr. Kan vi bruke denne definisjonen på problemet ditt? Vel, du spør om 3/4 delt på 1/4. Det ser ut til at du har to tall (det andre er ikke null), og du vil vite resultatet til det første delt på det andre. Så det ser ut til at denne definisjonen er Nøyaktig hva du trenger.
Så nå begynner spillet. Svaret på problemet vil være hvilket som helst tall, c, slik at \ frac 14 \ ganger c = \ frac 34.
Her er de gode nyhetene. Vi vet nå hvordan vi skal sjekke om noe svar er riktig svar eller ikke. Vi multipliserer bare 1/4 av kandidatsvaret, og hvis resultatet er 3/4, er kandidatsvaret riktig.
Den dårlige nyheten er at hvis kandidatsvaret IKKE er riktig, er vi ikke nærmere finne riktig svar. Med andre ord hjelper definisjonen oss ikke med å FINNE det riktige svaret. Det hjelper oss bare å se om et kandidatsvar er riktig.
Så hva kan vi gjøre? Prøving og feiling for alltid virker som en dårlig idé. Det ser ut til at det nå er på tide å oppfinne en regel som alltid vil gi oss det riktige svaret.
Jeg foreslår denne regelen. Gitt to tall a og b \ ne 0, må divisjon av b alltid være lik gangen av gjensidigheten av b (ofte betegnet \ frac 1b).
Før vi kan bruke denne regelen, selvfølgelig, vi må sørge for at det alltid fungerer. Det er det vi kaller et bevis. Beviset her er enkelt siden regelen gir meg en kandidatløsning og definisjonen forteller meg nøyaktig hvordan jeg skal sjekke en kandidatløsning.
Er det sant at a \ times \ frac 1b = a delt på b? Definisjonen sier at svaret vil være c hvis c ganger b er lik a. Så kan vi multiplisere kandidaten vår, a \ times \ frac 1b med b for å få en? Siden multiplikasjon er kommutativ, kan vi helt klart. Og regelen er bevist. (Vi har nettopp bevist vår første setning om inndeling. Hvis definisjoner er ved mursteinene i matematikk, er teoremer og bevis mørtel som holder dem sammen og lar dem brukes til å bygge flotte strukturer.)
Så det ser ut til at svaret på problemet vårt er at 3/4 delt på 1/4 må være lik produktet på 3/4 og det gjensidige på 1/4. Flott! Ikke sant?
Vel, vi har nå endret delingsproblemet vårt til to problemer. Den ene er et multiplikasjonsproblem. Den andre er «Hvordan finner jeg gjensidigheten av 1/4?»
Jeg antar at du vet hvordan du skal multiplisere tall, så egentlig har vi bare ett spørsmål om å finne gjensidige. Virkelig, dette er bare nok et divisjonsproblem. Eg ber meg no om å finne 1 delt på 1/4. Det virker ikke som en seier i begynnelsen fordi jeg er tilbake for å gjøre divisjon. Men jeg hevder at det er en gevinst fordi vi gikk fra å måtte finne ut hvordan vi kunne dele ALLE a ved b i å bare måtte finne 1 delt på b for ikke-null b. Og den gode nyheten er at det er LETT å lære å gjette riktig gjensidig. Og når du gjetter det, kan du bekrefte det siden det er akkurat det definisjonen forteller deg hvordan du skal gjøre.
Gjensidigheten av 1/4 er 4. Vi kan bekrefte at siden gjensidige betyr 1 delt på 1 / 4, og definisjonen sier at 4 er svaret så lenge 4 multiplisert med 1/4 gir 1. Og faktisk er det sant.
Så til slutt har vi lært at 3/4 delt på 1 / 4 er lik 3/4 ganger 4. Og siden jeg vet hvordan jeg skal multiplisere (for eksempel ved å legge sammen 4 eksemplarer av tallet 3/4), konkluderer jeg med at svaret er 3. Og hvis jeg er veldig forsiktig, gå tilbake og sjekk resultatet ved hjelp av definisjonen bare for å være sikker på at jeg ikke gjorde noen feil. Så er 1/4 multiplisert med 3 lik 3/4? Det er faktisk slik at 3 nå er bekreftet for å være den riktige løsningen.
Nå virker svaret VIRKELIG langt og komplisert – spesielt for en nykommer i matematikk. Jeg skjønner det.Du får faktisk svaret mye raskere med en kalkulator eller Google eller ved hjelp av noen (ikke bevist for deg) teknikker som de fleste av oss lærer tidlig på skolen. Men det er ikke poenget i det hele tatt.
Det vi egentlig lærte er ikke svaret på DETTE problemet. Det vi egentlig har lært, er at det å gjøre deling av ALLE TO tall krever at vi vet hvordan vi skal gjøre to ting. Først må vi vite hvordan vi kan dele ett med et hvilket som helst (ikke-null) tall for å få et gjensidig. Og for det andre må vi vite hvordan vi kan multiplisere to tall. Og den sannheten er langt mer interessant og dypere enn å vite svaret på dette spørsmålet. Tilgi den overbrukte metaforen, men det lærer en mann å fiske i stedet for å gi ham en fisk.
Og den virkelige kraften er at den setter inndeling i en sammenheng som gjør at den kan bli generalisert. Og generaliseringer av delingen av to tall fører til viktige ideer. Og det er det matematikk egentlig handler om!
Svar
Michael Lamar forklarer veldig godt i sitt svar hvorfor det å forstå det abstrakte begrepet divisjon er matematisk viktigere enn det spesifikke svaret på \ frac34 \ div \ frac14, så jeg vil dykke rett inn i generaliseringen:
Hva er \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
I et Felt hvert element som ikke er null, har et unikt multiplikativ invers a «slik at
\ quad a \ ganger a» = a » \ ganger a = 1 multiplikasjonsidentiteten.
Divisjon er definert i form av multiplikasjon:
\ quad b \ div a \ equiv b \ times a «
Multiplikativ invers av en brøkdel er gitt ved å invertere brøken fordi:
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ times q} {q \ times p} = 1 derfor \ left (\ frac {p} {q} \ right) «= \ frac {q} {p} (unntatt p = 0).
Derfor blir divisjonen vår gitt av:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {n \ time s q} {m \ times p}
For en spirende matematiker svarer dette på spørsmålet, i det minste i sammenheng med et felt. Den sanne (rene) matematikeren vil da se hvordan de kan generalisere videre.
Andre vil være mer interessert i å få det spesifikke svaret på det opprinnelige spørsmålet ved å instantiere n = 3, m = 4, p = 1, q = 4 for å få:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
Fortsatt ikke helt 3, men du kan komme dit med litt mer abstraksjon: en øvelse jeg vil overlate til den interesserte leseren.
For øvrig, for den spirende matematikeren, kan du sjekke at i endelig felt \ mathbb F\_5 har vi:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12 fordi \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 og \ frac12 \ equiv3