Beste svaret
Dette er et godt tidspunkt å vise hvordan matematikk fungerer ved å ta et intuitivt, men vagt konsept, og gjøre det presis med smarte definisjoner.
Hva skal vi mene med motsatt? En rimelig ting å bety er at når vi utfører noen operasjoner \ vee (kall det hva du vil, banan er et fint navn for eksempel) på x og det er motsatt x ^ *, resultatet skal være noe banan-nøytralt element n. Det vil si at x og “anti-x” bør avbryte hverandre slik at x \ vee x ^ * = n. Vær oppmerksom på at for øyeblikket vet vi ikke mye om banan annet enn disse formelle egenskapene. Konseptet med å være nøytral skal i denne forstand bety at for ethvert y, bør vi ha y \ vee n = y, det vil si, n påvirker ikke y når banan påføres dem begge.
Dette begrepet motsatt er grunnleggende i matematikk, og det vanligste navnet på x ^ * er invers av x med hensyn til operasjonen \ vee.
Når \ vee er vanlig tillegg + av tall, x ^ * betegnes -x, siden x + (- x) = 0 er det nøytrale elementet. Faktisk, for alle y, y + 0 = y. Så i dette tilfellet er det motsatte av 0 -0, som er 0 i seg selv!
Når \ vee er multiplikasjon, er det nøytrale elementet 1 (hvorfor?). Da har 0 ikke det motsatte, siden ingen tall ganger null er en. Det er sammenhenger der matematikere oppfinner et multiplikativ motsatt av 0, og de kaller det vanligvis \ infty, noe som gir mening.
Svar
Dette hadde tidligere vært gjenstand for noen debatt. i det matematiske samfunnet til Donald Knuth satte ting i orden i 1992, så det er forståelig at noe forvirring dveler, men den moderne konvensjonen er å definere 0 ^ 0 = 1, med god grunn.
Hva gjør 0 ^ 0 mener? Kanskje har du blitt lært at en null styrke blir beregnet ved å dividere en niende kraft med en nte styrke (n> 0); det hjelper ikke i tilfelle 0 ^ 0, og fører til at noen forbinder 0 ^ 0 med den udefinerte kvotienten \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00. Disse menneskene har ikke klart å innse at 0 ^ 2 er perfekt definert, og ikke kan knyttes til den udefinerte kvotienten \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00 – vi kan ikke bevise noe ved å introdusere en divisjon med null der ingen eksisterte før.
Men vi trenger ikke å appellere til divisjon i det hele tatt:
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
Hvis jeg tar bort alle eplene dine n ganger (n> 0) , du har ingen epler igjen; men hvis jeg tar bort alle eplene dine 0 ganger, har du fortsatt alle eplene dine. Mer kortfattet, 0 ^ 0 = 1 er et tilfelle av tomt produkt , akkurat som 0! = 1.
Så hvorfor tok dette så lang tid å bli akseptert? Det tilsynelatende problemet er at begrensende form 0 ^ 0 er en ubestemt form, i den forstand at \ textstyle \ lim\_ {x \ til a} f (x) = \ lim\_ {x \ til a} g (x) = 0 gir deg ingen informasjon * om grensen \ textstyle \ lim\_ {x \ til a} f (x) ^ {g (x)}: det kan være hvilken som helst ikke-negativ reelt tall, \ infty, eller kanskje ikke eksisterer, avhengig av spesifikke funksjoner. Dette syntes å være i konflikt med den enkle intuisjonen ovenfor i over et århundre. Men den viktige erkjennelsen er at den ubestemte begrensende form 0 ^ 0 hindrer ikke oss i å tildele en definisjon til verdi 0 ^ 0 . De er ikke det samme objektet: begrensende form 0 ^ 0 er bare en forkortelse for den nevnte grensen, og dens ubestemmelighet betyr bare at eksponentiering ikke kan være en kontinuerlig funksjon i ethvert nabolag av (0, 0).
Dette burde ikke være for overraskende: for eksempel er \ lfloor 0 \ rfloor også en ubestemt form (\ textstyle \ lim\_ {x \ til 0} \ lfloor x \ rfloor eksisterer ikke, \ textstyle \ lim\_ {x \ til 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ til 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), men likevel skriver vi \ lfloor 0 \ rfloor = 0 som en verdi.
Og så tildeler vi nå 0 ^ 0 verdien som er nyttig, som er 1. Hvorfor er det nyttig? Fordi det lar oss manipulere eksponentielle uten å legge til spesielle tilfeller .
- Hvis \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n er et polynom , så er p (0) = a\_0 dens konstante betegnelse – men vi kan ikke engang skrive et polynom på denne åpenbare måten med mindre 0 ^ 0 = 1. Det samme gjelder uendelig kraftserie, hvor d erstattes med \ infty.
- Evalueringen av den uendelige geometriske serien : \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} så \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x}. er helt gyldig (og til og med kontinuerlig) for | x | , inkludert ved x = 0, men krever 0 ^ 0 = 1.
- binomial teorem (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k holder selv når a = 0 eller b = 0, men krever 0 ^ 0 = 1.
- maktregel \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} (n \ ne 0) holder selv i n = 1 kl. x = 0, men krever 0 ^ 0 = 1.
- Jack Huizengas svar gir et annet eksempel: antall funksjoner f \ kolon S \ to T er \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}, men bare hvis 0 ^ 0 = 1.
- I Kirkens tall koding av naturene, eksponentiering er bare funksjonsapplikasjon, og 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* Forstanden der 0 ^ 0 er en ubestemt form er svakere enn for andre ubestemte former. For komplekse analytiske funksjoner f, g med \ textstyle \ lim\_ {x \ til a} f (x) = \ lim\_ {x \ til a} g (x ) = 0, vi har alltid \ textstyle \ lim\_ {x \ til a} f (x) ^ {g (x)} = 1, med mindre f er identisk null (i hvilket tilfelle grensen ikke eksisterer).
Donald Knuth gir i utgangspunktet det samme svaret i “ To notater om notasjon ” (1992, s. 6), sammen med historisk bakgrunn:
[Libris] papir [33] produserte imidlertid flere krusninger i matematiske farvann da den opprinnelig dukket opp, fordi den vakte opp en kontrovers om 0 ^ 0 er definert. De fleste matematikere var enige om at 0 ^ 0 = 1, men Cauchy [5, side 70] hadde listet 0 ^ 0 sammen med andre uttrykk som 0/0 og \ infty – \ infty i en tabell med udefinerte former. Libris begrunnelse for ligningen 0 ^ 0 = 1 var langt fra overbevisende, og en kommentator som signerte navnet hans bare “S” steg til angrepet [45]. August Möbius [36] forsvarte Libri ved å presentere sin tidligere professor grunn til å tro at 0 ^ 0 = 1 (i utgangspunktet et bevis på at \ textstyle \ lim\_ {x \ til 0 ^ +} x ^ x = 1). Möbius gikk også lenger og presenterte et antatt bevis på at \ textstyle \ lim\_ {x \ til 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 når \ textstyle \ lim\_ {x \ til 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ til 0 ^ +} g (x) = 0. Selvfølgelig spurte “S” da [3] om Möbius visste om funksjoner som f (x) = e ^ {- 1 / x} og g (x) = x. (Og papir [36] ble stille utelatt fra den historiske opptegnelsen da de innsamlede verkene til Möbius til slutt ble publisert.) Debatten stoppet der, tilsynelatende med den konklusjon at 0 ^ 0 ikke måtte defineres. , nei, ti tusen ganger nei! Alle som vil at binomialsetningen \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} skal holde i minst ett ikke-negativt heltall n må tro at 0 ^ 0 = 1, for vi kan plugge inn x = 0 og y = 1 for å få 1 til venstre og 0 ^ 0 til høyre.
Antall tilordninger fra det tomme settet til det tomme settet er 0 ^ 0. Det må være 1.
På den annen side hadde Cauchy god grunn til å betrakte 0 ^ 0 som en udefinert begrensende form , i den forstand at begrensningsverdien til f (x) ^ {g (x)} ikke er kjent a priori når f (x) og g (x) nærmer seg 0 uavhengig. I denne mye sterkere forstand er verdien av 0 ^ 0 mindre definert enn for eksempel verdien 0 + 0. Både Cauchy og Libri hadde rett, men Libri og hans forsvarere forstod ikke hvorfor sannheten var på deres side. p>