Beste svaret
Begrepet «punktsett» har ikke en standard matematisk definisjon, så vidt jeg vet. Uttrykket «La X være et punkt-sett» er meningsløst. I «punktsett topologi» er uttrykket «punktsett» et adjektiv som endrer «topologi», i motsetning til «algebraisk topologi» eller «differensial topologi.»
- Punktsett topologi studerer potensielt patologiske topologiske rom fra et hovedsakelig settteoretisk synspunkt.
- Algebraisk topologi bruker homologisk algebra til å analysere passende fine sammenhengende rom.
- Differensiell topologi bruker kalkulator for å studere glatte mellomrom.
Endringselementet «punktsett» til topologi indikerer derfor at du potensielt jobber i en kontekst der dine mellomrom er kan ikke studeres via kontinuerlige eller forskjellige metoder.
Svar
En linje kan betraktes som bestående av poeng, men jeg er ikke sikker på at det er den beste måten å tenke på det. Og jeg er ganske sikker på at du bør unngå å si at en linje er «sammensatt av» punkter, fordi ingen av dem er mer grunnleggende enn den andre.
I aksiomatiske geometri er linjer og punkter forskjellige fundamentale enheter. To linjer krysses på et punkt, og det er en streng rekkefølge av forskjellige punkter på en gitt linje. Et interessant trekk ved prosjektiv geometri er symmetrien mellom punkter og linjer: det er en formell dualitet mellom dem. Denne utsagnet om to linjer som møtes på et punkt tilsvarer formelt det dobbelte – to punkter definerer en linje. I den dobbelte visningen er et punkt «sammensatt av» linjer.
Når det gjelder kardinaliteten til punktene på en linje: dette avhenger av konstruksjonene du tillater. Med den tradisjonelle «umerkede linjalen og kompasset» er det bare et tellbart antall poeng vi kan nå på en linje. Ved å tillate grenser for sekvenser av punkter generelt kan vi nå et hvilket som helst punkt på linjen Real number, som har utellelig kardinaliteten til kontinuumet. Men det er ingen spesiell grunn til å stoppe der: vi kan konstruere, for eksempel, den surrealistiske tallinjen der forskjellige punkter kan være uendelig nærme og det er usett mange av dem (utover utallige!).