Beste svaret
Fra et teoretisk sannsynlig synspunkt er et tilfeldig felt en familie av tilfeldige variabler indeksert av et manifold.
La meg forklare:
En stokastisk prosess er en familie av tilfeldige variabler \ {X (t) \} \_ {t \ i T}, hvor for hver t, X (t) er en tilfeldig variabel, og t varierer i settet T kalt indekssett. Teoretisk sett legger definisjonen ingen begrensninger på indeks sett T, det kan være hvilket som helst sett. Når vi sier stokastisk prosess, tenker vi imidlertid 99\% av tiden på t som tiden, derfor må T være den virkelige linjen eller settet med heltall eller en del av dem.
Når dette er ikke tilfelle, oftest når T faktisk er et høyere dimensjonalt euklidisk rom eller en del av det, eller noe sånt (et «manifold»), så er \ {X (t) \} \_ {t \ in T} kalt et tilfeldig felt. Tanken er at siden indeksen ikke lenger er endimensjonal, kan vi ikke tenke den som tid, så vi tenker den som rom. Som et resultat får vi ikke en «prosess», vi får et «felt». Det vi får er altså en tilfeldig overflate, eller en tilfeldig multivariat funksjon.
Svar
En tilfeldig variabel er definert som en målbar funksjon
X: \ Omega \ mapsto \ R
Hvor \ Omega er en Sannsynlighetsrom – Wikipedia .
Ikke bekymre deg så mye for den «målbare» delen. Hovedpoenget jeg vil gjøre her er at det, spesielt i matematikk og fysikk, er en slags ekvivalens mellom funksjoner og variabler .
For eksempel sier en vanlig brukt form av kjederegelen fra Calculus:
\ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ frac { du} {dx}
men dette gir bare mening hvis y er implisitt en funksjon av u og u er implisitt en funksjon av x. Videre, på venstre side representerer y faktisk den sammensatte funksjonen y = y (u (x)).
Du ser også denne typen funksjon-som-variabel notasjon hele tiden i differensiallikninger. For eksempel når noen skriver en differensialligning som
y «= y
er det bare forstått at y er en funksjon på et eller annet uspesifisert domene, dvs. y = y (x), og at y «representerer funksjonen \ frac {dy} {dx}, og = tegnet betyr likeverd av funksjoner. Det «mye oppsett innebygd i den notasjonen!
Jeg nevner dette fordi tilfeldige variabler fungerer nøyaktig på samme måte. Vi skriver X, men dette symbolet refererer til en -funksjon X (\ omega). En tilfeldig variabel er en funksjon hvis domene er et sannsynlighetsrom. Sannsynlighetsrommet er nesten aldri eksplisitt i notasjonen, men det må defineres i sammenheng.
Når det gjelder hvorfor det kalles «tilfeldig», det er bare ordet vi bruker for ting som avhenger av et sannsynlighetsrom. Hvis jeg sier «tell 1 for hoder, -1 for haler», har jeg definert både et sannsynlighetsrom \ Omega = \ {heads, tails \} (antagelig med jevn fordeling), og en tilfeldig variabel X (hoder) = 1, X (haler) = – 1. Symbolet X betegner ikke et reelt tall, men snarere en funksjon med et «tilfeldig» domene, der «tilfeldig» kan løst defineres som «å ha en kjent fordeling av utfall.»