Beste svaret
Hvis noe kommer nærmere og nærmere 7, sier vi at det har en tendens til 7. Tallene 8, 6.6, 7.1, 6.99, 7.002, 6.9994 og så videre (tenk deg at en uendelig rekkefølge fortsetter på denne måten) har en tendens til 7.
Hvis noe blir større og større uten bundet, sier vi at det har en tendens til uendelig . Det er ikke nødvendig å forestille seg et faktisk objekt som kalles «uendelig». Uttrykket er bare stenografi for «vokser seg større og større uten bundet».
Hvis noe blir mindre og mindre uten å være bundet, sier vi at det har en tendens til negativ uendelig – og med «mindre» mener jeg ting som -1,000,000,000, ikke ting som 0,001.
Positiv uendelig er et symbol som brukes til å betegne grensen for en sekvens eller funksjon som til slutt overstiger den foreskrevne grensen.
Negativ uendelig gjør det samme for sekvenser som til slutt faller under enhver foreskrevet innbinding.
Sekvensen av tallene 100, 110, 111, 111.1, 111.11 (og så videre) har ikke en tendens til uendelig. Selv om det er uendelig mange tall her, og selv om de fortsetter å vokse, overstiger de aldri 200. De overstiger aldri engang 112. Faktisk har denne sekvensen en tendens til 111 \ frac {1} {9}. Dette viser at ikke hver sekvens som bare øker for alltid, har en tendens til uendelig, så vi ser tydeligere forskjellen mellom «å være tilbøyelig til uendelig» og bare «monotont økende».
Tallene 1, 11, 111, 1111, … har en tendens til uendelig. Uansett hvilken terskel du velger, vil tallene i denne sekvensen til slutt overstige den terskelen og aldri igjen falle under den. Denne sekvensen har en tendens til positiv uendelig .
Sekvensen 1, 2, 4, 8, 16, … av krefter på 2 har også en tendens til positiv uendelig. Det samme gjør primtallene, de sammensatte tallene eller mange andre sekvenser.
Sekvensen 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6, … har ikke en tendens til uendelig. Selv om en gitt terskel til slutt overskrides, overskrides den ikke for godt. Sekvensen insisterer på å falle tilbake til 0 slik at den ikke har en tendens til noe.
Sekvensen -10, -20, -30, -40, … har en tendens til negativ uendelig. Enhver terskel du bryr deg om å nevne, vil til slutt krysse nedenfra. Denne sekvensen vil til slutt falle under -100, og senere vil den falle under -1,000,000, og på et tidspunkt vil den til og med falle under negativ googolplex, og når den gjør det, vil den aldri heve seg over den. Dette er hva «tendens til negativ uendelig» betyr.
Det samme uttrykket brukes for funksjonsbegrensninger. Da x har en tendens til 0, har funksjonen \ frac {1} {x ^ 2} en tendens til positiv uendelig, mens funksjonen – \ frac {1} {x ^ 2} har en tendens til negativ uendelig. Dette betyr bare at for alle tilstrekkelig små verdier av x kan den første funksjonen gjøres vilkårlig stor og den andre vilkårlig liten.
Funksjonen 1 / x har ikke en tendens til noe som x har en tendens til 0. Hvis vi begrenser x til å være positiv og har en tendens til 0, så har funksjonen en tendens til positiv uendelig. Tenk på det gjensidige a på 1, så 1/2, så 1/10 og så videre. Hvis vi tvinger x til å være negativ og har en tendens til 0, har funksjonen også en tendens til negativ uendelig. Dette bør være fornuftig når du ser på grafen.
Svar
«Negativ uendelig» og «positiv uendelig» er begreper som matematikere bruker når de snakker om grenser til sekvenser .
En sekvens er bare en liste med tall som \ frac {1} {2}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {5}, ….
A limit er et tall som en sekvens kommer nærmere og nærmere uten å nå det helt. For eksempel kan du se at sekvensen over kommer nærmere og nærmere null, men aldri når den helt. (Det viktigste er at du kan få så nær du vil til null hvis du fortsetter lenge nok. Det er det som gjør null» til «grensen ).
Noen sekvenser, som den jeg skrev ovenfor, har en grense. Andre trenger ikke – for eksempel den ganske kjedelige sekvensen 1, -1, 1, -1, 1, -1 , … har ikke noe tall det kommer nærmere og nærmere. Det kommer egentlig ikke hvor som helst. Det har ikke en grense.
Hva med en sekvens som 1, 2, 3, 4, …? Den går definitivt et sted (den går ikke bare i sirkel som forrige sekvens) – men hvor går den?
Matematikere synes det er nyttig å ha et navn på hvor den sekvensen går. De sier at sekvenser som den har gjør en grense, og de kaller den grensen for «uendelig» (ellers kjent som «positiv uendelig» – samme ting).Hvis grensen for en sekvens er uendelig, betyr det bare at den fortsetter å bli større og uansett hvor stort et tall du tenker på, hvis du fortsetter lenge nok blir det større enn det. Uansett hvilket diagram du bruker, går det av diagrammet.
Hvis du forestiller deg alle tallene ordnet i en linje med null i midten, slik:
… så betyr positiv uendelig» utenfor høyre side av linjen «. Det er der den tredje sekvensen min går.
Jeg forventer at du nå har gjettet hva negativ uendelig er. Det er grensen for en sekvens som -1, -2, -3, -4,. … Det betyr bare «utenfor venstre side av linjen».
Enkelt som det.