Beste svaret
Rasjonelle tall er relativt enkle. De er et ordnet par heltall (m, n) med n \ neq0 under ekvivalensforholdet:
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc
Hva? Det skulle være greit? Vel ja. Alt som tilsvarer gobbledygook var bare for å sikre at halvparten var halvparten enten det var (1,2) eller (2,4) eller til og med (-33, -66). Og det ville føles mer kjent hvis jeg skrev det som \ frac12 = \ frac24 i stedet for (1,2) \ equiv (2,4) fordi 1 \ times4 = 2 \ times2. Men strengt tatt, det er hva en streng definisjon av rasjonelle tall begynner med.
Nå som de enkle greiene er behandlet, hva er et reelt tall? Til tross for deres navn og allestedsnærværende. kompliserte dyr. Kanskje den enkleste konstruksjonen som tilordnes etter vår intuisjon er den av Dedekind kutter . En Dedekind-kutt av de rasjonelle tallene, \ Q, er en partisjon i to ikke-tomme sett (A, B) slik at A \ cup B = \ Q, hvert element i A er strengt mindre enn hvert element i B, og A har ikke det største elementet. Jeg vet, hodet ditt spinner allerede, men idé er veldig enkelt: vi kutter bare tallinjen på et eller annet tidspunkt – alle rasjonelle til venstre er i A, og alle rasjonelle til høyre (eller til poenget) er i B. Hvis B har minst element, var kuttet vårt på et rasjonelt tall. Hvis B ikke ikke har minst element, var kuttet vårt på Irrasjonelt nummer. Følgende representerer s Dedekind-kuttet for kvadratroten av to (et irrasjonelt tall):
(Kilde: Fil: Dedekind kutt- kvadratrot av two.png – Wikipedia )
Uansett representerer kuttet, (A, B) et reelt tall. Siden B = \ Q \ setminus A, kan vi representere et reelt tall av A selv: et ikke-tomt sett med rasjonelle tall som er lukket nedenfor og ikke har noe største element. På en eller annen måte fyller de irrasjonelle reelle tallene «hullene» i de rasjonelle tallene.
Et problem med denne intuisjonen av «hull» er at de rasjonelle tallene er tette i realene – mellom to forskjellige tydelige reelle tall det er en rasjonell (faktisk uendelig mange rasjonelle). Dette kan få deg til å tro at det er minst like mange rasjonelle tall som det er irrasjonelle tall. Men nei, kardinaliteten til settet med irrasjonelle tall er strengt tatt større enn settet med rasjonelle tall. På en eller annen måte er det reelle tallet «på slutten» av settet A med rasjonelle tall sammen med en rekke andre reelle tall som jeg ikke helt kan beskrive i forhold til settet A. Som sagt er reelle tall kompliserte dyr: de fleste av dem kan ikke til og med beskrives til tross for deres antatte «virkelighet».
Jeg antyder på en grunnleggende forskjell mellom rasjonelle tall og ekte tall som virkelig krever en grad i matematikk for å forstå det riktig, men jeg håper du har minst en smak av forskjellen om ikke en full forståelse av finesser.
Svar
Reelle tall er tall mellom de rasjonelle tallene . Hva betyr egentlig dette utsagnet?
Tenk på kvadratroten på 2. Det kan vises at det ikke er rasjonelt. Men vi kan finne ut hvilken verdi det er, til enhver grad av nøyaktighet, ved å identifisere alle rasjonellene som er lavere enn den, og alle rasjonellene høyere enn den. Det er mellom to sett med rasjonelle tall.
Det gjelder for alle reelle tall – med mindre det også er rasjonelt. For ethvert reelt tall er det et sett med rasjonelle tall som alle er mindre enn eller like det, og et annet sett med rasjonelle som alle er større enn eller lik det, og hver rasjonell er i det ene eller det andre av disse to settene . Den slags partisjon av rasjonellene er nøkkelen til å konstruere de reelle tallene fra rasjonellene ved hjelp av Dedekind-kutt.
Vurder to sett med rasjonelle tall, L (lavere) og H (høyere), slik at hvert tall i H er høyere enn hvert tall i L, og de to settene inkluderer hvert rasjonelle tall. Vi vet at slike mengder L og H eksisterer for hvert reelle tall som vi kan beregne algebraisk, men det er ikke de eneste slike settene.
Generelt kan L ha det høyeste tallet, Lmax ,, eller H kan ha det laveste tallet Hmin. I disse tilfellene ville Lmax eller Hmin være den øvre grensen for L og den nedre grensen for H, og det ville være rasjonell. Hvis verken Lmax eller Hmin eksisterer – og vi vet at de ikke vil gjøre det hvis vi opprettet settene fra et kjent irrasjonelt tall – definerer vi den øvre grensen til L (som også er den nedre grensen til H) som et reelt tall.
Faktisk, hver gang vi tilnærmer et irrasjonelt tall med en desimalbrøk, lager vi en slik partisjon. For eksempel, hvis vi sier at et irrasjonelt tall er 1,2345 …, hva vi sier er at det er større enn 1,2345, men mindre enn 1.2346, og når vi skriver flere tall i desimalutvidelsen, legger vi til flere tall i settene som er større enn og mindre enn.
Ved å bruke disse desimalutvidelsene kan vi utlede en viktig forskjell mellom rasjonelle tall og reelle tall. De rasjonelle tallene er tellbare ; det vil si at de kan plasseres i en-til-en-korrespondanse med heltallene. De reelle tallene kan ikke telles.
Hva er forskjellen mellom reelle og rasjonelle tall?