Beste svaret
Først og fremst \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Nå skal jeg representere kvadratrotfunksjonen ved Taylor-serien. Jeg skal beregne denne Taylor-serien omtrent 16, bare for å være trygg fra irriterende konvergensradier. Deretter vil jeg tilnærme \ sqrt {20} ved å sette x = 20 i serien.
Definisjonen av Taylor-serien for en hvilken som helst lysfunksjon f \ left (x \ right) er som følger:
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Her betegner f ^ {\ left (n \ right)} det niende derivatet av f. Vi må beregne mange derivater, og forhåpentligvis vil det være et noe lett merkbart mønster.
f \ left (x \ right) skal heretter betegne \ sqrt {x}.
«Null» -derivatet til f er ganske enkelt f. Jeg vil ha f \ left (16 \ right) som koeffisient for første periode i serien. (Husk at jeg bestemte meg for å sentrere Taylor-serien rundt 16 . Kvadratroten til 16 er enkelt nok – det er bare 4 . Fire firere er 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
Ok. Ting blir litt utfordrende. Vi må nå beregne derivatet av \ sqrt {x}.
Power Rule sier at \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. I dette tilfellet er n = \ frac {1} {2} (gitt at \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Derfor, \ frac {\ tekst {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Den neste koeffisienten i serien er derfor \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} eller bare \ frac {1} {8}.
Neste periode i Taylor-serien vil derfor være f «\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} eller bare \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Her er delsummen så langt:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
Ok. Nå, vi må beregne andre avledede av f \ left (x \ right), eller bare beregne derivatet av \ frac {1} {2 \ sqrt {x }}.
Dette krever bruk av kjederegelen fordi vi har en funksjon sammensatt i en annen. En funksjon skal heretter betegnes med g \ left (x \ right) = \ frac {1} { x}, og den andre skal heretter betegnes med h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x}. Funksjonen som vi ønsker å finne derivatet er: f «\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Med andre ord ønsker vi å finne derivatet av g \ left (h \ left (x \ right) \ right).
Kjederegelen sier at \ frac {\ text {d}} {\ tekst {d} x} g \ venstre (h \ venstre (x \ høyre) \ høyre) = g «\ venstre (h \ venstre (x \ høyre) \ høyre) h» \ venstre (x \ høyre).
Derivatet til g \ left (x \ right) er – \ frac {1} {x ^ 2} (av Power Rule). Derivatet av h \ left (x \ right) er \ frac {1} {\ sqrt {x}} (i henhold til kraftregelen og egenskapen som antyder \ left (cf \ left (x \ right) \ right) » = cf «\ left (x \ right)).
Nå har vi den \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3}. Den tredje koeffisienten i serien er derfor – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (eller mer enkelt – \ frac {1} {256}).
Den tredje termen i serien er: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
Hele delsummen så langt:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ høyre) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ venstre (x-16 \ høyre) ^ 2} {2!} + \ cdots
Jeg skal nå fortsette med å beregne det fjerde derivatet av f \ left (x \ right).
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
Den fjerde termen i sekvensen blir \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
Summen har nå fire ord:
f \ left ( x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ høyre) ^ 3} {3!} + \ cdots
Hvis vi fortsetter med dette mønsteret, får vi følgende mønster med koeffisienter:
\ frac {1} {0.25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Nå er det på tide å finne et mønster og uttrykke sekvens med en eksplisitt formel.
Den niende nevneren kan representeres av b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right) som forenkler til b\_n = 2 ^ {5n-2} (med startverdien n som 0). Det var lett. Hva med tellerne?
Her er serien med teller (ignorerer tegnendring, som blir tatt hånd om senere):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm …
…
Mønsteret til tellerne er ganske enkelt. Ta 945 og del den med 105. Du får 9. Neste, ta 105 og del den med 15. Du får 7. Fortsetter: 15 delt på 3 er 5, 3 delt på 1 er 3, og 1 delt på 1 er 1. Produkter med oddetall er involvert her.
Den \ venstre (n + 2 \ høyre) th ordet i rekkefølgen av teller (unntatt veksling) er derfor:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
Formelen for tellerne er i form av pi-notasjon. Det ville være bedre hvis det på en eller annen måte kommer til uttrykk ved hjelp av faktoriell notasjon.
Hvis vi deler produktet av de første 2n + 2 heltallene med produktet av de jevne heltallene fra 2 til 2n, så får vi produkt av odde heltall fra 1 til 2n + 1. Med andre ord,
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Nå kan vi ta bort pi-notasjonen og erstatte den med et mindre, mer elegant uttrykk. Som du kan se, blir 2 i begrepet multiplisert med seg selv n + 1 ganger. Så vi kan trekke ut 2, plassere den foran hovedstaden pi, og deretter heve 2 til kraften til n + 1. Det etterlater oss med:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
Likningen ovenfor kan skrives enklere som:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ venstre (n + 1 \ høyre)!}
Du har kanskje allerede lagt merke til at serien gitt av uttrykket rett over er av med to termer. For å fikse dette problemet, er alt vi trenger å gjøre å finne alle n i nevnerformelen og legge dem til 2. Vi må også gjøre det samme med resten av begrepene med krefter på x.
Nevnerformelen er endelig 2 ^ {5n + 8}.
Siden vi flyttet serien, må vi fremdeles inkludere de som var ekskludert, et sted i uttrykket. Det vil være andre begreper som vises før sigma-notasjonen i uttrykket. Disse begrepene er 4 og \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right).
Koeffisienten til hvert begrep i serien vil være:
c\_n = \ frac {\ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}} {2 ^ {5n + 8}}
som forenkler ned til:
c\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!}
Det er formelen for den nende koeffisienten for serien (dette ekskluderte de to første begrepene fordi disse begrepene ville forårsake feil i formelen for t\_n).
Vi kan nå begynne å skrive sigma-notasjonen (husk, vi skiftet serien for å ta ut de sassy termene, så det vil være noen ting foran sigma-notasjonen).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
Det er en vekslende serie som begynner med en negativ, så vi blir nødt til å multiplisere vilkårene med (n + 1) kraft på -1.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ høyre) + \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1} \ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
Ryddet opp:
f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ venstre (-1 \ høyre) ^ n \ venstre (2n \ høyre)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ venstre (n + 1 \ høyre)!}
HA!
Vi har nå Taylor-serien for denne såkalte «kvadratrot» -funksjonen, som definitivt ikke er noe for kalkulatorer. Nå er det bare å tilnærme kvadratroten på tjue ved hjelp av taylor-serien vi nettopp har funnet ut.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (20-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Left (n + 1 \ right)!}
Forenklet:
f \ left (20 \ right) = \ sqrt {20} = 4,5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
Jeg skrev ovennevnte uttrykk i Desmos og erstattet \ infty med 15. Desmos evaluerte summen. Så kvadratroten på tjue er omtrent 4.472135955.
Jeg gikk dypt med dette svaret fordi det ellers ville være kjedelig nok.
Alle som kan bruke internett har tilgang til og med mest vitenskapelige av kalkulatorer. Kvadratrotfunksjonen er alltid tilgjengelig 24/7/365. Takket være det faktum vil jeg sjekke svaret mitt.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
Takk for at du leser.
Svar
Vel, la oss prøve uten kalkulator .
Finn tallet hvis kvadrat er bare mindre enn 20, det er 4.
Finn et hvis kvadrat er like over 20 , det er 5.
Så, 4 qrt (20)
En gang, som er identifisert, beregner du gjennomsnittet av disse to tallene som er 4,5
AM ≥ GM og GM = √4 * 5 = √20.
Derfor har vi √20 ,5
Så, 4 qrt (20) ,5
Beregn 4,5 kvadrat… 4 * 5 + .25 = 20,25…
Det er bare litt høyt…
Så svaret skal være rundt 4,5 bare ikke nær 4 .
Nå, la oss prøve å finne det mer riktig
Ta f (x) = sqrt (x)
f «(x) = o.5 / sqrt (x)
Nå, f (20,25) = 4,5, f (20) =?
Ta ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f «(x)
(Taylors serie avkortet til første ordre eller du kan ringe Newton Raphson-metoden)
Nå, og erstatter x og ∆x, har vi,
f (20) = 4,5 -0,25 * 0,5 (1 / 4,5)
= 4,5 – (1/4) (1/9) = 4,5 – .1111 / 4
= 4,5 -10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4,5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2,5 + 0,25]
= 4,5 -0,027775
= 4,472225
Derfor, sqrt (20) ~ 4.472225
Og dette er hva google tilbød som svar.
Så svaret vårt er ikke så ille !!