Beste svaret
Gitt Rt-trekant, sider 18, 24, 30; Finn radius av innskrevet sirkel.
Kort svar; formlene for en innskrevet sirkelradius i en Rt-trekant er
Område / (1/2 omkrets)
Området er Høyde X Halv base; det vil si
18 * 12 = 216
Perimeter er 18 + 24 + 30 = 72; og delt med 2
72/2 = 36
Sirkelradius er 216/36 = 6 cm
Langt svar
Konstruksjon:
Halvering AC, og CA, i krysset, sjekk lokus med halvering av BC, Det er ok, så la gå … ..
Med et kompass og blyant får du en sirkel som berører hvilken som helst side, og følger rundt den berører de to andre sidene.
Etiketkryss mellom AD og CE O.
Fra det faller en vinkelrett på hver side ved P, ved Q og ved R.
Krysset, O, er like langt fra sidene AB, BC og AC. (Se III nedenfor)
I.
Tenk på trekanter, BPO og BRO.
Vinkler BO = BO (konstruksjon).
Linje BO er felles for begge trekanter.
Vinkler RO = PO (konstruerte Rt-vinkler).
Ergo-trekanter BPO og BRO er kongruente.
Det følger den linjen BP = BR.
Men vi vet at BR = BC – r.
Så BP = BC – r; eller 24 – r.
Med samme argument kan vi bevise PA = AC -r: eller 18 – r.
Så.
BP = 24 – r; PA = 18 – r; og BP + PA = BA.
Kombinere konklusjoner …… BP + PA = (24 – r) + (18 – r) Erstatte BA for BP og PA, og forenkle….
Så, BA = 42 – 2r.
Men BA = 30 (gitt). Erstatter BA.
30 = 42 – 2r … forenkling … 2r = 42 – 30.
2r = 12.
Ergo r = 6.
QED.
II.
Radius funnet å være => 6 enheter.
Aritmetikken ser ut til å være,
Summen av alle sider, i denne trekantserien, / 12 = Radien på den innskrevne sirkel.
18 + 24 + 30 = 72
Radius = 72/12 = 6.
Håper det hjelper.
Re ; formler i andre svar, takk hver. Nytt for meg! … lol. Jeg lærer noe nytt på Quora hver dag. Min favoritt er areal / (0,5 * perimeter) = inskrevet sirkelradius … .216 / 36 = 6…
EDIT 6/26 / 17
III.
Fra figurkonstruksjonen er
Trekanter BPO og BOR kongruente, bevist ovenfor. Også APO og AOQ kan også påvises kongruente.
Ergo
Linjer OP = OR og OQ = OP. Siden OP er lik både OR og OQ, er disse like hverandre, det vil si – OR = OQ. Dette er følgelig et bevis på at skjæringspunktet for snittet mellom vinklene er sentrum av figuren, en rett trekant og like langt fra sine tre sider.
QED
Svar
Takk for at du stilte dette fine spørsmålet, Mr. Lloyd – ikke bare svaret på spørsmålet ditt er et ja men det er uendelig mange (plane ) trekanter med egenskapene du ber om, og som det viser seg, er det mulig å sortere noen av dem pent etter radiene i deres sirkler på en slik måte at nevnte radier sporer eller skygger settet med naturlige tall 1, 2, 3, 4 og så videre.
Med andre ord, ved å bruke den kommende diskusjonen som en plan for et potensielt mer formelt bevis, vil vi viser en mekanisk måte å generere en trekant på hvis lengde alle sider er hele tall og lengden på radiusen på hvis sirkel er et helt tall n gitt på forhånd.
Sidelinje: denne typen spørsmål har mye å gjøre med elementær tallteori og veldig lite med geometri å gjøre.
En familie av (plane) trekanter som er garantert å ha egenskapene som er forespurt rett utenfor flaggermusen er den såkalte Pythagoras Triangles – høyre (foreløpig) trekanter lengden på hvis sider er hele tall.
La oss være enige om at lengden på sidene til en Pythagoras-trekant er hele, strengt positive, tall a, b og c slik at:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ tag {1}
La oss også være enige om at når alle tre heltall a, b, c er coprime, og den tilsvarende Pythagoras-trekanten heter primitiv og la oss anta et øyeblikk at vi på en eller annen måte klarte å finne en slik primitiv trekant a\_0 , b\_0, c\_0.
Fordi forholdet i ( 1 ) ikke har noen andre fritt flytende termer, følger det at ved å skalere alle tallene som danner en primitiv Pythagoras-trekant med samme strengt positive heltall k:
\ left (ka\_0 \ right) ^ 2 + \ left (kb\_0 \ right) ^ 2 = \ left (kc\_0 \ right) ^ 2 \ tag * {}
vi får en ny trekant som vil være:
- også Pythagoras
- ikke primitiv lenger (for k> 1)
- ligner på den primitive primitive Pythagoras-trekanten a\_0, b\_0, c\_0
- større enn den primitive primitive Pythagoras-trekanten a\_0, b\_0, c\_0
Den følger at det eksisterer uendelig mange ikke-primitive Pythagoras-trekanter generert av et (enkelt) gitt primitivt Pytagoras-trekant. En gitt primitiv Pythagoras-trekant er den minste i familien fordi lengden på sidene ikke kan reduseres ytterligere. Ingen to forskjellige primitive Pythagoras-trekanter er like.
Vi observerer i forbifarten at vi normalt ikke kaster matematiske påstander på tomgang – vi beviser dem akkurat der og der, men fordi fokuset på dette svaret ikke er bevisene på de ovennevnte egenskapene vi bare tar dem for å være sanne om tro for nå (be om relevante bevis separat hvis interessert).
Dermed er det tradisjonelt av den opprinnelige interesse å gjenopprette lengden på sidene av primitive Pythagoras-trekanter fordi alle andre Pythagoras-trekanter kan genereres fra deres primitive kolleger som forklart ovenfor.
Som en øvelse kan vi vise at en komplett parameterisering av løsningene til ( 1 ) er gitt av:
a = m ^ 2 – n ^ 2, \; b = 2mn, \; c = m ^ 2 + n ^ 2 \ tag {2}
der m og n er alle parene av koprime heltall med motsatt paritet med m> n. motsatt paritet -bit betyr at et av disse tallene ikke betyr noe hvilken, må være merkelig, mens den andre – må være jevn.
Igjen, hvis du er interessert, så still et eget spørsmål om hvor kom ( 2 ) fra – vi vil mer enn gjerne presentere et fradrag på dette faktum utenfor bandet for ikke å forurense det nåværende svaret med for mye teknisk informasjon.
Det finnes en alternativ parameterisering av løsningene til ( 2 ) som vi også utelater her.
Tenk nå på en vilkårlig høyre trekant med sidene a og b, hypotenusen c og inradius r (fig. 1):
Hvis vi legger den grønne ligningen til den blå ligningen vist i figur 1 og bruker den grå ligningen for x + y, så finner vi:
c + 2r = a + b \ tag * {}
hvorfra:
r = \ dfrac {a + b – c} {2} \ tag {3}
Anta at ovennevnte righolder t trekant er en primitiv Pythagoras-trekant. Hvis vi tar verdiene a, b og c fra ( 2 ) og legger dem inn i ( 3 ) så har vi:
r = \ dfrac {m ^ 2-n ^ 2 + 2mn – m ^ 2 – n ^ 2} {2} \ tag * {}
Her vil m ^ 2s avbrytes og n ^ 2s doble opp:
r = \ dfrac {2mn – 2n ^ 2} {2} \ tag * {}
Når vi tar ut 2n fra nevneren ovenfor, kommer vi til:
r = \ dfrac {2n (m – n)} {2} \ tag * {}
som vil si at:
r = n (mn) \ tag {4}
som forteller oss at i hvilken som helst primitive Pythagorean Triangle lengden på inradiusen er et helt tall (ikke glem m> n-begrensningen, se ( 2 )) fordi en forskjell på to heltall er alltid et helt tall, og et produkt av to heltall er alltid et helt tall.
Deretter vurderer du hvilken som helst ikke-primitiv k-trekant – det vil si en Pythagoras-trekant, lengden på alle sidene som har vært skalert opp jevnt med et strengt positivt heltall k> 1. Fordi slike lengder går inn i ligningen ( 3 ) som strengt lineære termer, er det bare å multiplisere for å oppnå lengden på den tilsvarende inradiusen. RHS av ( 4 ) av k:
r\_k = kn (mn) \ tag {5}
Uansett er lengden på inradiusen til et Pythagoras-trekant alltid et helt tall fordi objektene (tallene) på RHS av ( 4 , 5 ) er alltid – en forskjell på to heltall er alltid et helt tall og et produkt av to heltall er alltid et helt tall.
Merk at ligning ( 5 ) kan leses høyre-mot-venstre . Det betyr at vi kan ta heltallene k, m, n som inngang og deretter bruke ( 5 ) for å generere en integrert inradius som utgang.
La oss nå prøve å gå i motsatt retning – la oss se om vi kan plassere en ordre på lengden på en inradius og basert på den informasjonen gjenopprette lengdene til den tilsvarende Pythagoras-trekanten.
Tilsynelatende klarte Pythagoras selv for mange år siden å produsere en delvis parameterisering av løsningene til ( 1 ) ved å studere de Pythagoras-trekanter hvor lengden på kortere sider danner en sekvens av påfølgende odde naturlige tall a = 2n + 1.
I så fall for at de relevante tallene skal forbli hele lengden på siden b og lengden på hypotenusen c til et mysterium Pythagoras-trekanten må avvike med en enhet: c = b + 1. Dermed fra ( 1 ) vi har:
(2n + 1) ^ 2 + b ^ 2 = (b + 1) ^ 2 \ tag * {}
Åpne parentesen ovenfor:
4n ^ 2 + 4n + 1 = b ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 \ tag * {}
vi ser at b ^ 2s og 1s avbryter:
4n ^ 2 + 4n = 4n ( n + 1) = 2b \ tag * {}
det vil si at:
b = 2n (n + 1), \; c = b + 1 = 2n (n + 1) + 1 \ tag {6}
Å sette disse verdiene tilbake i ( 3 ) , oppdager vi at:
r = \ dfrac {2n + 1 + 2n ^ 2 + 2n – 2n ^ 2 – 2n – 1} {2} \ tag * {}
r = \ dfrac {2n} {2} = n \ tag {7}
Er det ikke hyggelig?
Dermed – sorteringsreferansen.
Med andre ord, hvis du gir oss noe vilkårlig naturlig tall n> 0, vil vi kunne generere et Pythagoras-trekant som har nøyaktig de egenskapene du ber om:
a = 2n + 1, \; b = 2n (n + 1), \; c = 2n (n + 1) + 1, \; r = n \ tag {8}
som betyr at ovennevnte familie av formler teller integrallengden til inradiusen til en trekant med integrallengdene på sidene via settet med naturlige tall \ mathbb {N}.
Det betyr også at vi kan skrive et dataprogram, for eksempel C-programmeringsspråket som medium, på forhånd som vil generere de etterspurte trekanter på forespørsel:
#include
#include
extern int
main( int argc, char* argv[] )
{
int i;
int n;
int a;
int b;
int c;
for ( i = 1; i
{
n = atoi( argv[ i ] );
a = 2*n + 1;
b = 2*n*(n + 1);
c = b + 1;
}
return 0;
}
Forutsatt at vi har lagret koden ovenfor i ptr.c -filen, bygg den slik:
gcc -g - o ptr ptr.c
og kjør det slik:
./ptr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
9 19 180 181
10 21 220 221
11 23 264 265
12 25 312 313
13 27 364 365
der for en billig spenning inkluderte vi dramatisk hypotenusen med lengde 365.
Programmet vårt aksepterer en haug med naturlige tall fra ledeteksten, og for hvert slikt nummer n genererer det en pythagoreanerTrekant lengdene på sidene som garanterer at lengden på den trekantens inradius er lik det naturlige inngangstallet n.
Formatet på utgangen vår er: den første kolonnen viser verdien av inradius n, den andre kolonnen viser verdien av a, den tredje kolonnen viser verdien av b og den fjerde kolonnen viser verdien av c.
Dessuten er -området S of our Pythagorean Triangles:
S = \ dfrac {ab} {2} \ tag {9}
er garantert også et helt tall fordi du setter inn verdiene til a og b fra ( 2 ) til ( 9 ), finner vi:
S = \ dfrac {\ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) 2mn} {2} = \ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) mn \ tag * {}
som alltid er et heltall.
Til slutt, situasjonen med vilkårlig, les – ikke riktig, trekanter er mer delikat.
Hvis vi deler en slik trekant i tre mindre trekanter tette, uten hull og uten overlapping, som vist nedenfor (fig.2):
da, fordi i dette tilfellet er hele lik summen av delene, for området S av en slik trekant vil vi ha:
S = \ dfrac {ar} {2} + \ dfrac {br} {2} + \ dfrac {cr} {2} \ tag * {}
som vil si at:
S = r \ cdot p = \ dfrac {rP} {2} \ tag * {}
hvis vi er enige om at P er trekants fullstendig omkrets og at p er trekants semiperimeter .
Det følger da at for verdien av inradius r har vi:
r = \ dfrac {2S} {P} = \ dfrac {S} {p} \ tag * {}
For at r skal være et heltall, må enten P heltall dele 2S eller p må heltall dele S.
For argumentets skyld, la oss bli enige om å nevne plan ikke høyre trekanter hvor lengdene på alle sider er heltall og hvis område er et helt tall Diofantin .
Nå eksisterer (sammensatte) diofantine trekanter slik at:
- de er kompo sed av to Pythagoras Trekanter langs en felles side og
- lengden på deres inradius er ikke et helt tall
Bevis: området til den 5, 5, 6 sammensatte diofantiske trekanten, som er sammensatt av to 3,4,5 pythagoreiske trekanter langs b = 4-siden, er 12, mens lengden på semiperimeteret er 8. Men 8 deler ikke heltall 12. \ blacksquare
Der eksisterer (sammensatt) Diofantine trekanter slik at:
- de er en sammensetning av to Pythagoras trekanter langs en felles side og
- lengden på deres inradius er et heltall
Bevis: området 13,14, 15 sammensatt Diophantine-trekant, som er sammensatt av to Pythagoras-trekanter 5,12,14 og 9,12,15 langs b = 12-siden, er lik 84, mens dens semiperimeter er lik 42. Men 42 gjør heltall 84 : 42 \ cdot 2 = 84. \ blacksquare
Det eksisterer (ikke-sammensatt?) Diofantine trekanter slik at:
- de kan ikke være sammensatt av to Pythagoras trekanter, men
- lengden på inradiusen deres er et heltall
Bevis: arealet av 65.119.180-trekanten er lik 1638, mens semiperimeteret er 182. Men 182 deler heltall 1638: 182 \ cdot 9 = 1638.
I en kandidat til høyre med sidene a og b, er to ganger arealet 2S lik produktet av a og b, se ( 9 ): 2S = a \ cdot b. Derfor må begge tall a og b dele 2S.
Er dette tilfellet med trekanten vår?
Nei.
Ingen av lengdene på sidene av trekanten vår deler størrelsen lik 1638 \ cdot 2.
Her er hvorfor: primfaktoriseringen av 1638 \ cdot 2 er lik 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13:
1638 \ cdot 2 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 \ tag * {}
De viktigste faktoriseringene av lengden på sidene av trekanten vår er :
65 = 5 \ cdot 13 \ tag * {}
119 = 7 \ cdot 17 \ tag * {}
180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ tag * {}
Derfor kan lengden på ingen høyde på trekanten vår uttrykkes som et helt (naturlig) tall, og dermed kan en slik diofantintrekant ikke være sammensatt av to Pythagoras-trekanter langs en felles side som må spille rollen som måltrekantens høyde. \ blacksquare
Vi ser at for å komme med en omfattende uttalelse om lengden på inradiusen til en Diophantine-trekant, må vi foreta en mer nøye analyse av situasjonen og, med all sannsynlighet, se på rasjonelle trekanter .
Jeg håper at jeg ikke gjorde diskusjonen vår for komplisert, men det er hva den er – elementær tallteori for det meste.