Beste svaret
Til Abhinav Rk: du la ut dette spørsmålet for nesten tre år siden, så kanskje du er ikke lenger interessert i et svar. Jeg føler imidlertid at spørsmålet ditt har blitt misforstått i andre forsøk på å svare på det. Jeg tror du ber om den matematiske formelen som er kodet i Excel av PMT-funksjonen, når det er en ikke-null fremtidig verdi FV. Da jeg undersøkte spørsmålet ditt, klarte jeg ikke å finne et eneste eksempel der en slik beregning ble gjort, enn si en diskusjon av matematikken bak. Her er mitt forsøk på å forstå problemet, med ansvarsfraskrivelsen om at jeg bare er kjent med de enkleste mulige presentasjonene av finansmatematikk, og stoler mest på kapittel 8 i læreboken «Thinking Mathematically,» av Robert Blitzer, 7. utgave, Pearson, 2019. Jeg er på ingen måte ekspert på finansmatematikk.
Anta at vi begynner med formelen for beregning av periodisk betaling ( innskudd) til en livrentekonto som kreves for å oppnå en livrente A. Dette er gitt av
\ begin {ligning} PMT \, = \, \ dfrac {A \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ høyre)} {\ venstre [\ venstre (1+ \ dfrac {r} {n} \ høyre) ^ {nt} – 1 \ høyre]}. \ tag {1} \ end {equation}
der r er renten uttrykt som en desimal, n er antall betalinger per år (for eksempel n = 12 hvis man betaler månedlig betaling / innskudd gjort), og t er antall år betalingen gjøres for. Som referanse er produktet n \ ganger t lik variabelen «Nper» brukt i Excel.
Hvis et beløp PV lånes på et lån, blir den fremtidige verdien av lånet gitt under disse forholdene ved sammensatt renteformel:
\ begin {ligning} FV\_0 \, = \, PV \, \ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ høyre) ^ {nt}. \ tag {2} \ end {equation}
Vanligvis vil du betale av lånet med en betaling som tilsvarer innskudd som ville være nødvendig for å oppnå en annuitet lik denne fremtidige verdien, A = FV\_0, i hvilket tilfelle den fremtidige verdien av lånet ville bli redusert til FV\_0 = 0 (Jeg skiller denne fremtidige verdien med et 0-abonnement, som sannsynligvis ser ganske ukjent ut, men jeg tror denne notasjonen gjør matematikken mer forståelig).
Hvis du imidlertid ønsker å foreta en betaling som etterlater en ubetalt del av lånet, det vil si en fremtidig verdi FV som ikke er null av lånet, så må du sette opp betalinger på en livrente A som reduserer den fremtidige verdien til FV = FV\_0 – A. Løser dette for A, er livrenteverdien som skal erstattes i ligning (1) da A = FV\_0 – FV, og betalingen er gitt av
\ begin {ligning} PMT \, = \, \ dfrac {(FV\_0 – FV) \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ høyre)} {\ venstre [\ venstre (1+ \ dfrac {r} {n} \ høyre) ^ {nt} – 1 \ høyre]}. \ tag {3} \ end {ligning}
Erstatter FV\_0 fra ligning (1), dette kan skrives som
\ begin {ligning} PMT \, = \, \ dfrac {(PV \ times C \, – \, FV) \, \ left (\ dfrac {r} {n} \ right)} {C – 1}, \ tag {4} \ end {equation}
hvor
\ begynner {ligning} C \, = \, \ venstre (1+ \ dfrac {r} {n} \ høyre) ^ {nt} \ tag {5} \ end {ligning}
er sammensettingsfaktoren.
I Abhinav Rks svar er et eksempel på et problem gitt med hovedverdien PV = 30000, r = 6,5 \\% = 0,065, t = 5 år, og FV = -9000. Han fortsetter, med henvisning til betalingen som kreves for dette eksemplet, ved å spørre «Hvordan beregner jeg dette manuelt»? Excel gir ham verdien $ 459 som løsning.
For hans eksempel finner jeg for sammensettingsfaktoren (merk at for å bruke formelen jeg avledet, må den fremtidige verdien tas positivt: FV = 9000):
\ begin {ligning} C \, = \ , \ left (1+ \ dfrac {0.065} {12} \ right) ^ {12 \ times 5} = 1.382817, \ tag * {} \ end {ligning}
og når dette erstattes i ligning (4) Jeg får
\ begin {ligning} PM T \, = \, \ dfrac {(30000 \ times 1.382817 – 9000) \, \ left (\ dfrac {0.064} {12} \ right)} {0.382817} = \ $ 459,64, \ tag * {} \ end {ligning }
stemmer godt overens med det han oppnådde ved hjelp av Excel.
Forutsatt at jeg har utviklet ligningene riktig, håper jeg dette kan være nyttig for deg eller andre som er interessert i det samme spørsmålet.
Svar
Fra den offisielle Excel 2016-hjelpen:
PMT-funksjon – Office-støtte
Syntaks
PMT (rate, nper, pv, [fv], [type])
Merk: For en mer fullstendig beskrivelse av argumentene i PMT, se PV-funksjonen.
Syntaksen for PMT-funksjonen har følgende argumenter:
- Pris Påkrevd. Rentesatsen for lånet.
- Nper Påkrevd. Totalt antall betalinger for lånet.
- Pv Påkrevd.Nåverdien, eller det totale beløpet som en serie av fremtidige betalinger er verdt nå; også kjent som rektor.
- Fv Valgfritt. Fremtidsverdien, eller en kontantsaldo du vil oppnå etter siste utbetaling. Hvis fv er utelatt, antas det å være 0 (null), det vil si at den fremtidige verdien av et lån er 0.
- Type Valgfritt. Tallet 0 (null) eller 1 og angir når betalinger forfaller.
- Angi type lik:
- 0 eller utelatt Hvis betalinger forfaller På slutten av perioden
- 1 Hvis betalinger forfaller I begynnelsen av perioden
Matematisk kan dette implementeres som:
pmt = Rate * (Fv * -1 + Pv * (1 + Rate) ^ Nper)) / ((1 + Rate * Type) * (1- (1 + Rate) ^ Nper)
Make sørg for at enhetene til Nper & Rates er konsistente og at det tas hensyn til passende inn- / utstrømning av kontanter.
Nedenfor er den enklere ligningen (uten Fv og type) https://en.wikipedia.org/wiki/Equated\_monthly\_installment
PMT = (Pv * Rate * (1+ Rate) ^ Nper) / [(1 + Rate) ^ Nper – 1]