Beste svaret
Intuitivt antyder en nevner 3 at tallet blir «delt» i tre like deler. 27 delt på 3 er 9. Det vil si at hver av de 3 gruppene er lik 9.
2/3 indikerer at av de 3 gruppene på 9 er bare 2 av de 3 gruppene som er bekymringsfulle. Derfor er 2/3 9 + 9 = 18.
2/3 av 27 er 18.
Svar
John K Williamsson ga et godt svar: for det han kalte den ”skitne summen” av \ frac {1} {2} og \ frac {8} {9} (det matematiske ordet for det er mediant ):
\ frac {1} {2} frac {1 + 8} {2 + 9} frac {8} {9}
Han foreslår at bruk algebra for å bevise mediant ulikhet : hvis a, b, c, d er positive tall og
\ frac {a} {b } frac {c} {d}
deretter
\ frac {a} {b} frac {a + c} {b + d} frac { c} {d}.
Jeg vil legge til at den grunnleggende ulikheten på grunnskolenivå ikke trenger et algebraisk bevis, det er tilstrekkelig selvinnlysende.
Faktisk betrakt brøker \ frac {1} {2} og \ frac {8} {9} som beskrivelser av virkelige situasjoner:
\ frac {1} {2}: 2 barn har 1 pose med frukt .
\ frac {8} {9}: 9 barn har 8 poser med frukt.
De kommer sammen og deler likt: 1 + 8 poser frukt mellom 2 + 9 = 11 barn, altså de danner mediant:
\ frac {1 + 8} {2 + 9}
I denne delingen, hvilken gruppe barn mister og og hvem vinner? Selvfølgelig 2 barn med en veske: de har \ frac {1} {2} vesker per hode, den andre gruppen kommer med større andel per hode: \ frac {8} {9}. Av samme grunn taper barna i den andre gruppen.
Jeg bruker et eksempel med barn og poser med søtsaker i forelesningene mine; her erstattet jeg søtsaker med mer politisk korrekte frukter – kanskje jeg må gå lenger og bruke grønne grønnsaker i stedet for frukt. Den opprinnelige ideen tilhørte den store Israel Gelfand, og ble uttalt på et mer fargerikt språk:
Du kan forklare matematikk for alle, til og med for drukkene. Hvis du spør noen mennesker som drikker vodka på en parkbenk, hva er større, \ frac {2} {3} eller \ frac {3 } {4} , vil de svare med eksplosiver. Men hvis du spør dem, hva er bedre, 2 flasker vodka til 3 mennesker eller 3 flasker vodka til 4 mennesker, de vil umiddelbart gi deg det riktige svaret: av selvfølgelig, 3 flasker for 4 personer.
Og denne øyeblikkelige konklusjonen kommer fra et argument som er reverseringen av det uformelle beviset på den medisinske ulikheten: hvordan kommer man fra situasjonen «2 flasker for 3 personer» til situasjonen «3 flasker for 4 personer»? Selvfølgelig betyr det at en fjerde mann kommer og tar med seg en hel flaske – kan du forestille deg, en hel flaske vodka! I den medieverdige ulikheten,
\ frac {2} {3} frac {2 + 1} {3 + 1} frac {1} {1},
eller
\ frac {2} {3} frac {3} {4} .
Jeg har sett noen papirer som bekrefter at dette er et typisk mønster av aritmetisk tenkning, som gjort av «normale» mennesker i situasjoner i det virkelige liv (for eksempel har jeg sett en påstand om at den brukes av sykehussykepleiere for å sammenligne doser med medisiner, hvilken som er større og hvilken som er mindre).