Hvis du multipliserer en 1×2 matrise med en 2×1 matrise, hva er dimensjonene til den resulterende matrisen?


Beste svaret

1×1

Forklaring: Anta , 1. matrise er av størrelse a * b og 2. matrise er av størrelse c * d (a & c tilsvarer rad og b & d tilsvarer kolonne).

Matrisemultiplikasjon mellom de to matrisene vil bare være mulig hvis b = c og resulterende matrise vil ha størrelse a * d.

Her er a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. som b = c, kan vi multiplisere da, og den resulterende matrisen vil ha størrelse a * d (1 * 1)

Svar

Den vilkårlige matrisen to og to er

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

Den kan ha en multiplikativ invers A ^ {- 1} med egenskapen AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, identitetsmatrisen, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.

La oss finne det omvendte, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}

AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}

Vi har to skillbare to og to lineære systemer,

ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1

La oss gjøre den første, løse for x og z.

adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0

(ad-bc) x = d

x = \ dfrac {d} {ad-bc}

acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0

z = \ dfrac {-c} {ad-bc}

Fra det andre systemet vi får

ady + bdw = 0, bcy + bdw = b

y = \ dfrac {-b} {ad-bc}

og lignende

z = \ dfrac {a} {ad-bc}

Sette alt sammen er vi ser

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

Mengden | A | = \ det (A) = ad-bc kalles determinanten . Det er ikke null akkurat når matrisen har en invers. Determinanten er multiplikativ – determinanten for produktet av to firkantede matriser er produktet av deres determinanter.

Matrisen \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} kalles adjugate betegnet \ textrm {adj} (A).

La oss sjekke at A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Jeg, matrisen som er null, bortsett fra determinanten nedover i diagonalene.

A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( A) \; I \ quad \ checkmark

Svaret på spørsmålet er at hvis nevneren ikke er null,

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

er matrisen vi multipliserer med

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

for å få identiteten.

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *