Beste svaret
1×1
Forklaring: Anta , 1. matrise er av størrelse a * b og 2. matrise er av størrelse c * d (a & c tilsvarer rad og b & d tilsvarer kolonne).
Matrisemultiplikasjon mellom de to matrisene vil bare være mulig hvis b = c og resulterende matrise vil ha størrelse a * d.
Her er a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. som b = c, kan vi multiplisere da, og den resulterende matrisen vil ha størrelse a * d (1 * 1)
Svar
Den vilkårlige matrisen to og to er
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
Den kan ha en multiplikativ invers A ^ {- 1} med egenskapen AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, identitetsmatrisen, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.
La oss finne det omvendte, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}
AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}
Vi har to skillbare to og to lineære systemer,
ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1
La oss gjøre den første, løse for x og z.
adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0
(ad-bc) x = d
x = \ dfrac {d} {ad-bc}
acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0
z = \ dfrac {-c} {ad-bc}
Fra det andre systemet vi får
ady + bdw = 0, bcy + bdw = b
y = \ dfrac {-b} {ad-bc}
og lignende
z = \ dfrac {a} {ad-bc}
Sette alt sammen er vi ser
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
Mengden | A | = \ det (A) = ad-bc kalles determinanten . Det er ikke null akkurat når matrisen har en invers. Determinanten er multiplikativ – determinanten for produktet av to firkantede matriser er produktet av deres determinanter.
Matrisen \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} kalles adjugate betegnet \ textrm {adj} (A).
La oss sjekke at A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Jeg, matrisen som er null, bortsett fra determinanten nedover i diagonalene.
A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( A) \; I \ quad \ checkmark
Svaret på spørsmålet er at hvis nevneren ikke er null,
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
er matrisen vi multipliserer med
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
for å få identiteten.