Beste svaret
Jeg bestemte meg for å tenke litt på hva som sannsynligvis vil være den eneste anvendelsen av polynomer som sannsynligvis blir brukt det meste. Min gjetning er at i den moderne tidsalder med høyfrekvente handelsalgoritmer og nettbank, er det meste som har å gjøre med hvordan du kan overføre finansiell informasjon sikkert, en sannsynlig vinner. Brukes polynomer i dette? Du bør vel satse på at de er det.
Tillat meg å introdusere deg for hemmelig deling . Vi begynner med et leketøyeksempel, og så får vi se hvordan dette faktisk kan være praktisk: anta at du er leder for en bank. Du kommer med en cache med penger som må låses i safe, men du vil ikke være der når leveransen er utført. Du må be fortellerne dine om å låse opp safen for deg. Dessverre stoler du ikke på noen av dem nok til å bare gi dem en nøkkel, av frykt for at de kan stjele noe. Du føler deg imidlertid ganske trygg på at hvis tre av dem ser på hverandre, så vil ingen av dem prøve noe. Så, hva du vil gjøre er å sette opp et system der hver av dem har del av en nøkkel som ikke tillater dem å åpne safe ved å i seg selv, men hvis noen av dem kommer sammen, kan de åpne safe.
Dette er grunnideen bak hemmelig deling – du vil distribuere en dele av en hemmelighet mellom et antall mottakere, slik at ingen av dem kan bestemme hemmeligheten selv, men hvis noen spesifiserte antall av dem kommer sammen, så kan de. Dette har veldig praktisk anvendelse innen datasikkerhet, fordi du kan ha en rekke forskjellige servere som du ønsker å kollektivt ha tilgang til sikker informasjon, for eksempel noens bankinformasjon, eller kanskje en database med passord. Du kan imidlertid være forsiktig med at noen av disse serverne kan bli kompromittert, så du setter opp ting slik at bare flere servere som jobber sammen, faktisk kan gjøre den ønskede oppgaven.
Hvordan får du faktisk til å gjøre hemmelig deling? Vel, det er her polynomer spiller inn. Det er et par forskjellige ordninger, men den opprinnelige, og den som sannsynligvis fortsatt er den mest brukte, er Shamirs Secret Sharing . Her er en forenklet versjon av den (i praksis trenger du noen modifikasjoner for å gjøre alt effektivt beregningsbart og sikkert): anta at du vil at k-aksjer skal kunne gjenopprette passordet, som er noe heltall N. Du lager den komplette nøkkelen ak – 1 graders polynom, hvor N er den konstante betegnelsen – så for eksempel i eksemplet ovenfor der vi vil at tre tellere skal kunne åpne safe, kanskje passordet er 1043, så vi kan gjøre det hemmelige polynomet til 3X ^ 2 – 531X + 1043. Hver av aksjene vil være et poeng på dette polynomet – så hvis det er seks tellere, kan du gi hver av dem ett av følgende punkter:
\ displaystyle (-3, 2663), (-2, 2117), (-1, 1577), (1, 515), (2, -7), (3, -523). \ Tag * {}
Her kickeren: ingen teller kan finne ut av sitt ene punkt hva opprinnelige kvadratiske polynom var. Ingen to tellere kan finne ut hva det opprinnelige kvadratiske polynomet var. Men hvis noen tre av dem kommer sammen, kan de regne ut at det er et unikt kvadratisk polynom som går gjennom alle tre punktene, og ut fra det kan de regne ut passordet er 1043.
Svar
A2A. Den mest brukte polynomligningen er en linje. Den brukes hele tiden, som jeg sikkert vet.
Så la oss gå videre til kvadratiske polynomer. Disse har formen y = ax ^ 2 + bx + c, der a, b og c er reelle konstanter.
Du vil bli overrasket over antall applikasjoner som bruker kvadratiske ligninger.
Kast en ball i luften. Buen den følger er en parabel. Og en parabel kan representeres av en kvadratisk ligning.
Her er en opp ned ned parabel. Ignorer delene under x-aksen. Hvis du stod lengst til venstre rød prikk og kastet ballen opp i en vinkel, ville maksimal høyde oppnås ved den blå prikken, og den ville slå bakken helt til høyre.
Med litt hjelp fra fysikk, hvis du vet hastigheten og vinkelen på ballen når den forlot hånden din, kan du beregne maksimal høyde, tiden det tar å komme til den høyden, og tiden det tar å treffe bakken, og hastigheten når som helst. Du kan forestille deg hvor mye militæret bruker dette i sine målrettingssystemer.
Her er en annen parabel:
Legg merke til den røde prikken merket fokus. Hva er fokuset på en parabel? En måte å definere en parabel på er at det er settet med punkter i et plan som er like langt fra en gitt linje, kalt directrix, og en gitt punkt kalt fokus.
Merk for eksempel at opprinnelsen (0, 0) er 2 enheter fra directrix og 2 enheter fra fokus. Hvis du valgte et punkt på parabolen, og tegnet vinkelrett ned til directrix, og deretter tegnet en annen linje til fokus, ville de ha samme lengde.
Legg merke til at ligningen for denne parabolen er y = \ frac {1} {8} x ^ 2.
Her er noe veldig kult med en parabel og fokus. Hvis du tar en 3-dimensjon parabel (en parabol), hold den i hånden din, og peker den mot en haug med Dallas Cowboys over hele feltet, lydbølgene spretter av paraboloidene og går i fokus. (Nå vet du hvor navnet kom fra.) Hvis du setter en mikrofon i fokus, vil du kunne høre Cowboys så godt at du må slå den av fordi det er barn rundt. Dette er den eneste formen som har denne egenskapen.
Videre brukes parabolske speil på teleskoper for av samme grunn. Det pekes på et område av himmelen. I stedet for en mikrofon i fokus blir en form for en digital fotografisk plate satt der. Alt lyset som treffer parabolen blir sendt til fokalen oss, slik at du kan se stjerner og galakser du ikke kan se med øynene dine.
Moderne teleskoper vil til og med få teleskopet til å spore et område på himmelen, som beveger seg for å justere seg for jordens rotasjon. Så den fotografiske platen tar ikke bare mye lys på grunn av speilets størrelse, men også fordi den holder seg fokusert på et område av himmelen i flere timer.
La oss her være for paraboler.
Her er en interessant informasjon. Hvis du og en venn holder fast i endene på et tau, ser det ut som tauets form er en parabel. Alas, det er ikke en parabel, og det er ikke noe polynom i det hele tatt.
Denne hengende kjeden er ganske nær form av en parabel. Men formen kalles en kjøreledning. Formelen er ganske skremmende:
y = \ frac {a (e ^ {x \ over a} + e ^ \ frac {-x} {a})} {2}
Nåvel. Ikke alle figurer kan være en parabel. Men hvis jeg noen gang får sjansen til å skape mitt eget univers, vil hver figur være en parabel.