Beste svaret
Det kan besvares på tre måter.
- 2,00,00,000 – Dette er 2 crore. Antall nuller er 7.
- 2 Crore – Ingen nuller her. Bare 2 og Crore, fortsatt crore har o i det kan ikke betraktes som null.
- 2,00,00,000 betyr, nuller som er i tall ller = 2,00,00,000 det går fra en rekkevidde av negativ uendelig til 2 crore. Supercomputere kan heller ikke beregne antall nuller i det ovennevnte området.
Svar
Spørsmålet, «Hvorfor blir et tall hevet til kraften null lik en, men null hevet til null, gir ikke noe svar? » er selvmotsigende. Den hevder at ethvert tall (uten å oppgi hva som utgjør et tall) hevet til en eksponent på 1 uten noe unntak (for eksempel via tekst som «hvilket som helst tall unntatt \_\_\_»), og fortsetter deretter å hevde at 0⁰ «ikke gir noe svar». Siden 0 er et tall, betyr den første påstanden 0⁰ = 1 mens den andre påstanden sier 0⁰ er udefinert – vi kan ikke ha begge sanne.
Den første påstanden skal faktisk betraktes som ubetinget sant og den andre påstanden som falsk; derfor 0⁰ = 1.
De vanlige argumentene som krever at 0⁰ skal betraktes som udefinert:
- 0⁰ = 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹ = 0/0, som er udefinert, så 0⁰, som er demonstrert til lik 0/0, må også være udefinert. (Noen positive verdier kan erstattes av 1.) Dette forsøker å bruke en delingslov, men det er et ugyldig forsøk. Den relevante delingsloven er ikke bare x ^ {a-b} = \ frac {x ^ a} {x ^ b}, men den har begrensninger eller betingelser som må oppgis og følges. En av de mange begrensningene er at ingen del av anvendelsen av denne delingsloven har tillatelse til å involvere en divisjon med 0 eller en gjensidighet på 0. Denne begrensningen er brutt, så vi har ikke lov til å skrive 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹. Fordi likestillingen for mellomtrinnet ikke holder, kan vi ikke si at den venstre enden er lik den høyre enden. Det samme ugyldige argumentet kan brukes til å bevise at 0³ er udefinert, noe vi vet er tull: 0¹ = 0 per definisjon av eksponent 1; 0² = 0¹⁺¹ = 0¹ × 0¹ = 0 × 0 = 0; 0⁴ = 0²⁺² = 0² × 0² = 0 × 0 = 0; 0³ = 0⁴⁻¹ = 0⁴ / 0¹ = 0/0, som er udefinert.
- x ^ 0 = 1 for alle ikke-null x . 0 ^ x = 0 for alle nuller x . Hvis vi lar x = 0, vil utsagnene ovenfor antyde 0⁰ = 1 og 0⁰ = 0, som er en motsetning, så 0⁰ må være udefinert. Når folk kommer med dette argumentet, stopper de ikke lenge nok til å tenke på hva de sier. Den andre utsagnet er gyldig for, og bare for, positiv reell x . Det er feil å si «for alle ikke-null x » for det andre forholdet. Imidlertid er det første forholdet gyldig for negativ reell x så vel som for positiv reell x , pluss, utover det, er det første forholdet sant for alle ikke-nul-komplekse og quaternion x , noe det andre forholdet ikke kan si. Det gir ikke mening å tilveiebringe en likeverdig vekt på en sak som fungerer for bare positive reelle verdier til en sak som fungerer for alle ikke-null-reelle, komplekse og kvartærverdier – den mye bredere allmenheten til sistnevnte er verdt mye. I tillegg, for det andre forholdet, er det x = 0 saken en grense mellom meningsfylte saker og ikke-meningsfylte tilfeller, så hvorfor skulle vi anta at de meningsfylte tilfellene er de som gjelder og at de gjelder uten justering?
- Grensen på x ^ y som x og y uavhengig tilnærming 0 eksisterer ikke fordi trendverdien avhenger av tilnærmingsveien til x og y mot 0 – det er et bredt bånd av mulige verdier. (Noen ganger kombineres dette argumentet med nr. 2 ovenfor.) Problemet med dette argumentet er at hvorvidt en funksjon er definert på et punkt, og i så fall hva som er verdien, er uavhengig av om funksjonen har en grense som nærmer seg det punktet, og i så fall hva er verdien av grensen. Det er fullt mulig at ingen av dem eksisterer; det er fullt mulig at den ene eksisterer, men ikke den andre; det er fullt mulig at begge eksisterer, i så fall er de to verdiene kanskje eller ikke de samme. Som et resultat det faktum at x ^ y ikke har en grense som x og y tilnærming 0 sier ikke noe om 0 er definert eller udefinert. Diskusjonen om grenser med hensyn til om 0⁰ har en verdi er totalt irrelevant.Signum-funksjonen er et eksempel på en funksjon med en baneavhengig grense da x nærmer seg 0, men sgn 0 er definert – spesielt sgn x er definert til å være 1 for positiv reell x , 0 for x = 0, og −1 for negativ reell x , så x nærmer seg 0 fra venstre gir en grense på −1 og x som nærmer seg 0 fra høyre gir verdien 1, med konflikten som betyr at grensen ikke eksisterer, selv om sgn 0 = 0. En slik mangel på begrensning rettferdiggjør oss ikke å si at sgn 0 må være udefinert.
Det disponerer de vanligste argumentene som brukes til å rettferdiggjøre om 0⁰ som udefinert, så det reiser spørsmålet om hvilken, om noen verdi, skal 0⁰ defineres som?
Det grunnleggende argumentet innebærer nullverksprinsippet brukt på multip ising. Produktet av ingen faktorer må betraktes som den multipliserende identiteten 1; symbolsk, \ prod\_ {i = 1} ^ {0} x\_i = 1. (For beregning av x ⁰, x\_i = x; for beregning av 0 !, x\_i = i.) Denne egenskapen avhenger ikke av om alle kandidater x\_i er ikke-null, eller noen er ikke-null, og noen er 0, eller alle er 0. Det er ingen unntakstilfeller. Derfor har vi 0! = 1 og vi har x ⁰ = 0 uten begrensning for alle kvartioner (ikke bare alle reelle tall, ikke bare alle komplekse tall), så 0⁰ = 1.
Det andre viktige kriteriet er nytten. Matematikere definerer ting fordi de er nyttige for deres forskning. Hvis en definisjon ikke er nyttig, er det ikke noe poeng å gjøre den, så er 0⁰ = 1 faktisk nyttig, foruten fra synspunktet til tomproduktregelen? Svaret er et rungende ja. Ta kraftserien for \ text {e} ^ x: \ text {e} ^ x = \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ i} {i!}. Matematikere har bevist at denne kraftserien konvergerer for alle komplekse tall x og at resultatet faktisk er \ text {e} ^ x. Siden 0 er et komplekst tall, og denne kraftserien fungerer for alle komplekse tall, må den fungere for x = 0. La oss først utvide summeringen: \ text {e } ^ x = \ frac {x ^ 0} {0!} + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ frac {x ^ 2} {2!} +…. Så hva skjer for x = 0? Vi har: \ text {e} ^ 0 = \ frac {0 ^ 0} {0!} + \ Frac {0 ^ 1} {1!} + \ Frac {0 ^ 2} {2!} +….
Vi vet at 0 hevet til en positiv eksponent er 0, som gjelder for alle termer unntatt den første på høyre side av =; alle disse begrepene gjør ingenting slik at de kan forsvinne. Vi vet også at ethvert ikke-null-komplekst tall hevet til en eksponent på 0 er lik 1, og e er et ikke-null-kompleks-tall, så \ text {e} ^ 0 = 1. Derfor har vi nå: 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!}. Matematikere er enige om at 0! = 1 (tomt produktregel). Derfor er 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!} = \ Frac {0 ^ 0} {1} = 0 ^ 0. Se på hva vi nettopp bestemte: 0⁰ = 1. For at denne kraftserien skal fungere, må vi enten ha 0⁰ definert til å være 1 eller skrive en spesiell advarsel med kraftserien som den gjelder for, og bare for ikke-null kompleks x og oppgir eksplisitt hver for seg at e⁰ = 1. Hvorfor gjør en slik unødvendig komplikasjon av å uttrykke kraftserien bare for å unngå å definere 0⁰ = 1 uten noen vesentlig grunn?
Den samme typen ting gjelder mange andre kraftserier, polynomer, binomialsetningen, forskjellige kombinatoriske problemer og andre applikasjoner. Det er mange tilfeller av betydelig forenkling og generalisering som oppstår, da definerer vi 0⁰ = 1.
Det finnes ikke noen tilfeller som det er nyttig å betrakte 0⁰ som definert som en annen verdi enn 1 eller til betrakter 0⁰ som udefinert. Den nærmeste situasjonen som oppstår er i visse situasjoner i forskning i reell analyse hvor det er nyttig å ha funksjoner kontinuerlige i hele sitt domene. På grunn av problemene med grenser for x ^ y som nærmer seg (0; 0), gjør det x ^ y diskontinuerlig ved (0; 0), uansett om 0⁰ i seg selv er definert og i så fall til hvilken verdi. Å trekke et punkt fra domenet er effektivt å betrakte funksjonen som udefinert på det tidspunktet. Imidlertid, bare fordi det er nyttig å trekke (0; 0) ut av domenet til x ^ y for din forskning, betyr ikke det at det må gjøres i alle aspekter av matematikken. Det kan hende jeg må håndtere bijektive funksjoner for å støtte inverterbarhet. Hvis jeg jobber med x ² og trenger inverterbarhet, må jeg begrense domenet til noe som settet med ikke-negative reelle tall, noe som betyr for mine formål at (- 3) ² er udefinert, noe som vil være en latterlig begrensning å pålegge deg; På samme måte betyr ikke noen matematikere som trenger 0⁰ udefinert, at det ikke er en begrensning som er pålagt alle matematikere.Faktisk hersker tomproduktregelen i sammenheng med heltallseksponenter, mens problemer med kontinuitet bare forekommer i sammenheng med virkelige eksponenter. En mulig løsning er å betrakte 0⁰ = 1 når eksponenten er et helt tall 0, men udefinert eksponenten er en reell 0; hvis dette høres rart ut for deg at svaret avhenger av om en verdi anses å være et heltall mot et mer generelt reelt tall, er dette ikke unikt for 0⁰ for kraftfunksjonen, da (-8) ^ {1/3} er betraktet som −2 hvis −8 betraktes som et reelt tall, men å være 1 + i√3 hvis −8 betraktes som et komplekst tall. Strømfunksjonen x ^ y ser så enkel ut, men den har en veldig stygg oppførsel.