Beste svaret
Hvor stort er Rayos nummer i forhold til Grahams nummer? Den er større. Mye større. Det var designet for å være det.
Grahams nummer er enormt. Det er så mye større enn vanlige store tall som et Googolplex at det å forstå hvor mye større det er kan være ganske oppsiktsvekkende. Imidlertid er Grahams nummer ikke eksepsjonelt innen enorme tall. Det er hele sett med tall som har blitt oppfattet som er like tankevekkende større enn Grahams Antall som Grahams Antall er i seg selv stort. Grahams Antall ble ikke tenkt, husk å være spesielt stort; faktisk oppstod det i et forsøk på å finne en minste øvre grense til et matematisk problem (og mye mindre øvre grenser har siden blitt funnet for dette problemet!). Det eneste som var spesielt med Grahams nummer var at, på den tiden var det det største tallet som har blitt brukt i et betydelig matematisk bevis eller avledning.
Andre tall som etterlater Grahams nummer langt bak har siden blitt avledet eller brukt i meningsfulle bevis. Et eksempel er TREE (3) , men det er også mange andre.
Rayos nummer er litt annerledes enn alle disse. Ser du, Rayos nummer ble utviklet spesielt for å være et enormt stort tall. Det er praktisk talt per definisjon større enn noen av disse andre tallene vi har har snakket om. Det er så mye hugger enn noen av dem at vi ikke en gang vet nøyaktig hvor stort det er: men vi vet ganske mange forferdelig enorme tall som vi vet at det må være større enn!
Selvfølgelig er ikke Rayos nummer på noen måte «det største tallet». Det er ikke noe slikt. Vi kan alltid legge til et til et hvilket som helst tall og få et litt større. Vi kan heve et hvilket som helst tall til sin egen kraft og få en ganske større. Men Rayos Number antas for tiden å være det største endelige tallet noen har gidd å gi et navn til (unntatt trivielle utvidelser, som Rayos Number-plus-one og lignende).
Svar
Rayos nummer i er mye større.
Jeg forklarer hva Rayo er, så forstår vi hvorfor det er mye større enn Grahams nummer.
Det er dette gamle paradokset som går omtrent slik: La N defineres som «Det minste positive heltallet som ikke kan defineres i høyst tolv engelske ord».
Man kan spørre, hva er N?
Vel, uansett hva N er, er det klart definerbar i høyst tolv engelske ord, nemlig ordene “Det minste positive heltallet som ikke kan defineres i høyst tolv engelske ord”. Men det er en motsetning, for per definisjon kan N ikke defineres med tolv engelske ord.
Paradoks! SpoooOoOoOky!
Oppløsningen til dette paradokset, utover det faktum at «engelsk» er vagt generelt, er at «definerbar» er spesielt dårlig definert. Hvis hvilke tall som kan defineres avhenger av ordet «definerbar» hvis betydning avhenger av hvilke tall som kan defineres, ender du opp med en sirkulær definisjon som ikke kan løses.
Hvorfor tok jeg opp dette paradokset?
Rayos nummer kan sees på som en «formalisering» av det ovennevnte; den bruker matematisk språk snarere enn engelsk, og det gjør forestillingen om «definisjon» presis. Rayos nummer er
«Det minste positive heltallet større enn noe endelig positivt heltall navngitt av et uttrykk på språket for første ordens sett teori med googolsymboler eller mindre. «
Førsteordens settteori — her, som betyr» første ordens logikk på domenet til Von Neumann-universet , som er en modell av Zermelo – Fraenkel mengde teori ”- er et presist matematisk språk. Dette formelt språk har den egenskapen at det ikke sirkulært kan kode den samme setningen og skape et paradoks. (Du kan beskrive ZFC-aksiomene i første ordens logikk, og til og med beskrive en mekanisme for evaluering av bevis og så videre, men du kan ikke skape et Von Neumann-univers i seg selv.)
Så hvorfor er dette større enn Grahams nummer?
Vel, Grahams nummer er ikke veldig vanskelig å definere, du kan les definisjonen på Wikipedia, og den er helt elementær, når det gjelder up arr eiernotasjon som er definert av eksponentiering. Gjerne, du kan kode Grahams nummer ved å bruke, for eksempel, 10 000 symboler. Jeg er konservativ her. Og Grahams tall er ikke i nærheten av det største tallet som kan defineres i 10 000 symboler. Men Rayos tall er større enn noe tall som kan defineres med googol = 10 ^ {100} symboler. Det er monstert hugger enn Grahams nummer! Faktisk er førsteordens settteori i stand til å snakke om Turing-maskiner, så Rayos antall er mye større til og med enn for eksempel BusyBeaver (uansett hvilket stort antall du tenker på).