Beste svaret
To størrelser er i gyldne forhold hvis forholdet deres er det samme som forholdet mellom summen og den største av de to størrelsene.
Nå, hvis vi lar a og b (b> a) være to størrelser i det gyldne forholdet, da,
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ oversette {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ tag * {}
\ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ tag * {}
\ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {}
Quadratic Formula avslører at
\ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ approx 1.618 \ tag * {}
(Den andre løsningen gir \ frac {a} {b} eller \ varphi ^ {- 1} )
Som andre har nevnt, er forholdet mellom to påfølgende Fibonacci-tall også tilnærmet \ varphi.
Faktisk for enhver sekvens som tilfredsstiller gjentakelsesforholdet (med frøverdier A\_0, A\_1 ikke begge 0 fordi det ville bli en konstant sekvens ),
A\_n = A\_ {n-1} + A\_ {n-2} \ tag * {}
Grensen på \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1}} når n \ til 0 nærmer seg \ varphi .
Dette kan bevises ved å la L være grensen,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1 }} \ tag * {}
Ved hjelp av gjentakelsen,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-1} + A\_ { n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A\_ {n-1} } {A\_ {n-2}}} \ tag * {}
L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ tag * {}
Igjen ved å multiplisere med ved L og ved å bruke den kvadratiske formelen, kan du vise at
L = \ varphi \ tag * {}
Svar
Konstruksjon med kompass og linjal
Scott Beach utviklet en måte å representere denne beregningen av phi i en geometrisk konstruksjon:
Som Scott deler på hans nettsted: Triangle ABC er en riktig tria ngle, der målingen på vinkelen BAC er 90 grader. Lengden på siden AB er 1 og lengden på siden AC er 2. Pythagorasetningen kan brukes til å bestemme at lengden på siden BC er kvadratroten på 5. Side BC kan utvides med 1 lengdeenhet for å etablere punkt D. Linjesegment DC kan deretter halveres (delt med 2) for å etablere punkt E. Lengden på linjesegmentet EC er lik Phi (1.618 …).
Phi nomenal!
Kilde: http://www.goldennumber.net/phi-formula-geometry/