Beste svaret
George Gamow forklarer hvordan Galileo kom til denne formelen i sin bok «Gravity».
Galileo studerte fallende kropper. Han ønsket å kjenne det matematiske forholdet mellom tiden det tar av et objekt og den tilbakelagte avstanden. Så han gjorde et eksperiment.
Han bygde et skråplan. Så lot han kulene av forskjellige materialer rulle nedover flyet (Han dyttet dem ikke). Han målte avstandene dekket av ballen på slutten av 1., 2., 3. og 4. sekund. Han kunne ha ordnet fritt fall av ball direkte. Men fritt fall er ganske raskt, og han hadde ikke gode klokker på den tiden. Ved å utføre eksperiment på skråplan reduserte han tyngdekraften som virket på kulen og økte tiden for å nå bunnen, avhengig av skråningen på skråplanet. Følgende figur forklarer dette:
Fra figuren kan vi vise at,
[matematikk] \ frac {mgsin (a)} {mg} = sin (a) = \ frac {x} {z} [/ matematikk].
Derfor mindre x, mindre vil bevegelsen forårsake kraft og mer vil tiden det tar av ballen å nå bunnen. Galileo fant at avstandene dekket av ballen på slutten av 2., 3. og 4. sekund er henholdsvis 4, 9 og 16 ganger distansen som ble tilbakelagt på slutten av 1. sekund. Dette viser at ballhastigheten øker på en slik måte at avstandene dekket av ballen øker når kvadratene på reisetiden. Nå var spørsmålet hvordan man skal relatere hastighet med tiden som er gitt ovenfor forholdet mellom avstand og tid. Galileo sa at denne typen avstand-tid-forhold kun kan oppnås når ballhastigheten er direkte proporsjonal med tiden. Følgende figur viser hastigheten mot tidsplottet i ovennevnte eksperiment og Galileos uttalelse:
I figuren ovenfor, punkt A tilsvarer en nullposisjon av kulen (øverst på skråplanet) og punkt B tilsvarer en ball som har hastighet v ved slutten av tidsintervallet t. Vi vet at arealet til trekanten ABC gir oss avstanden dekket av ballen , s, i tidsintervall (0, t). Derfor er den tilbakelagte avstanden,
s = \ frac {1} {2} vt.
Men i henhold til Galileos argumentet, er v direkte proporsjonal med t dvs. v = på der a er akselerasjon.
[matematikk] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} ved ^ 2. [/ matematikk]
Så avstanden som økes øker som kvadratet av tiden som var vår eksperimentelle observasjon. Denne formelen gir avstand dekket når det ikke er noen starthastighet gitt til ballen. Men når ballen har en innledende hastighet, u, blir begrepet «ut» lagt til formelen ovenfor, som er avstanden dekket i tid t ved hastighet u. Dette begrepet vil bare øke avstandene målt i eksperimentet vårt, men opprettholde samme forhold mellom avstand og tid. Derfor er den endelige formelen:
s = ut + \ frac {1} {2} ved ^ 2.
Svar
Når du prøver å bevise noe relatert til positive heltall, bør din første tanke være induksjon. Problemet er at det ikke er noen umiddelbart åpenbar måte å gå videre på. Vi ønsker å kunne legge til noe til begge sider av ulikheten, men da vil båndet på høyre side øke.
Trikset til dette problemet er å faktisk gjøre båndet sterkere enn det er for øyeblikket. Så vi vil bevise den relaterte uttalelsen
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {n}
for alle positive heltall n \ geq 3. Den opprinnelige setningen følger av tillater n å nærme seg uendelig.
Merk at for ethvert positivt heltall k har vi
\ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {(k + 1 ) ^ 2}> \ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac {k} {k (k + 1)} = \ dfrac {1} {k + 1}.
Når vi vet dette, kan vi fortsette med induksjon.
Siden \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {3}, basissaken n = 3 er sann.
Anta nå at utsagnet er sant for noen k, nemlig at
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k}.
Vi ønsker å vise at uttalelse holder også for k + 1. For å gjøre dette, legg til \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} til begge sider:
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}.
Fra ulikheten vi viste ovenfor, forenkler dette til
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k + 1},
som er akkurat det vi ønsket å bevise.
Derfor, ved prinsippet om matematisk induksjon, gjelder den modifiserte setningen for alle heltall n \ geq 3, så den opprinnelige uttalelsen er også sant.
EDIT: Som Predrag Tosic påpekte i kommentarene, når vi tillater n å nærme seg uendelig, må tegnet endres til a \ leq i i tilfelle de to sidene av ulikheten konvergerer til samme verdi.Dette kan imidlertid løses ved å bevise ulikheten
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ epsilon – \ dfrac {1} {n}
for en liten verdi av \ epsilon ( si, \ dfrac {1} {100}), som når n nærmer seg uendelig ville resultere i
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4} – \ epsilon,
hvorfra ønsket setning følger.