Beste svaret
Gavin Song har allerede gitt deg et godt svar, men jeg vil gjøre mitt beste for å gi deg et alternativ måte å se på dette problemet med Calculus.
Fakta: Enhver 2D-ellips kan parametriseres når
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
Hvor 0 \ leq t \ leq 2 \ pi og a og b er semi-minor og semi-major akser (aka vertikale og horisontale radier) henholdsvis.
Tenk på at et punkt har en endring i x-aksen og en annen i y-aksen, si \ Delta y og \ Delta x. Ved å bruke Pythagoras teorem vet vi at lengden mellom punktets start- og sluttposisjon er gitt av (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2}. Enkelt, ikke sant?
Bruk den logikken på den parametriserte ellipsen. For å tilnærme oss omkretsen av ellipsen, kunne vi «følge» et punkt på ellipsen langs flere trinn i t, måle lengden mellom plasseringene ved hvert intervall og legge dem sammen til slutt. Hvis du prøver å gjøre dette selv, vil du legge merke til at målingen blir mer og mer nøyaktig hvis vi vurderer mindre og mindre intervaller. Så for å få den sanne omkretsen, kunne vi utføre denne prosessen i uendelig små intervaller, noe som ville gi uendelig små endringer i x og y, si dx og dy. Dette tilsvarer å evaluere følgende integral:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
La omkretsen uttrykkes som l. Hvis vi bruker parametriseringen fra tidligere, kan vi uttrykke dette som
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {dx} {dt} \ Big) ^ 2 \ Big) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {align *}
Det er imidlertid en fangst. Denne integralen har ingen symbolsk løsning med mindre a = b (som elegant gir oss formelen for omkretsen av en sirkel), så vårt eneste alternativ er å bruke numeriske metoder for å få en god tilnærming. Dette kan være interessant eller skuffende for deg, men uansett håper jeg det hjalp.
🙂
Svar
Hvis du vil bære meg, vil jeg vurder dette spørsmålet omvendt.
Anta at en sirkel og en ellips har like områder.
Spørsmålet mitt er «Har de samme omkretser?»
(Legg merke til at når a = b = r er formelen den samme som sirkelområdet.)
Omkretsen til en sirkel er 2πr
Omkretsen til en ellips er veldig vanskelig å beregne!
Folk har prøvd å finne formler for å finne omkretsen av en ellipse, men de fleste forsøk er bare tilnærminger.
Noen metoder innebærer til og med å summere uendelige serier!
Den berømte indiske matematikeren Ramanujan utarbeidet en veldig god formel som er ganske nøyaktig.
Merk at hvis a = b = r så blir ellipsen en sirkel og formelen ovenfor endres til formel for sirkelen C = 2πr .
Hvis vi erstatter dette i formelen hans får vi:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
La oss se på et spesielt eksempel der sirkelen har en radius på 6 cm og en ellips har hovedakse 9 cm og mindre akse 4 cm.
Sirkelareal = π × 6 × 6 = 36π kvm
Areal av ellipse = π × 9 × 4 = 36π kvadratmeter
—————————————————— ——————————
Sirkelens omkrets = 2πr = 12π cm
Omkretsen til ellipsen ved hjelp av Ramanujans formel er:
————————————————————————————————— ————
Konklusjon, hvis sirkelen og ellipsen har samme område, har ellipsen en større omkrets enn sirkelen .