Beste svaret
Det er noen måter å løse en kvadratisk ligning på. Du kan bruke funksjonen Add-in solver. Jeg er ikke så kjent med hvordan det fungerer, men det er et forslag for deg.
Andre måter jeg er kjent med er å lage en tabell eller tegne den.
Anta at vi har enkel ligning: 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Nå vet vi at hvis vi tar ut dette får vi (x + 5) (x + 2) = 0, betyr dette x = -2, -5. Men samtidig kan vi bruke dette som en veiledning for å se hvordan vi kan sjekke løsningen vår i Excel.
Det første vi kan gjøre er å lage en Excel-tabell. Det jeg liker å gjøre er å sette opp en Excel-tabell. Jeg har x-verdiene i det venstre området fra -50 til 50. Etter det kan jeg ganske enkelt plugge inn ligningen som sådan:
= [@x]*[@x] + 7*[@x] + 10
eller
=power([@x],2) + 7*[@x] + 10
[@x] er i utgangspunktet cellehenvisningen for x-verdiene i kolonnen (jeg vil gi deg et bilde av hvordan dette fungerer kort tid).
Hvis du ser på ligningen vi fikk tidligere, er 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Hva dette betyr er at vi setter y = 0 (fordi hele ligningen er y). Dette betyr at når det gjelder Excel-tabellen, må vi se etter x-verdier på venstre side som vil ha en 0 neste tot-kant i y-kolonnen. Følg nedenfor:
Hvis du merker det, har vi to verdier som har null ved siden av seg, -2 og -5. Disse er løsningene på ligningen.
Et annet eksempel vil være å tegne ligningen din. Her kan vi bruke Excel-tabellen vår som seriedata for å plotte poengene.
Å plotte punktene på grafen vil ikke gjøre det åpenbart med en gang. Så du må kanskje justere minimum og maksimum for akser. På grafen min justerte jeg x-aksen slik at de varierer fra -10 til 5, og y-aksen fra -10 til 10.
Hvis du merker det, krysser grafen x = -2 og krysser rundt x = -5. Så vi klarte også å løse ligningen grafisk.
Svar
Jeg tar for meg hardt du mener ‘vanskelig å faktorisere’. La oss se på et generelt uttrykk for ax ^ 2 + bx + c.
For å løse dette, setter vi dette lik 0, og så får vi ax ^ 2 + bx + c = 0. Finn x er din plikt.
Gud, det ville være veldig nyttig hvis det var en enkel løsning som fungerte for noen generelle koeffisienter. Heldig for oss er det, og det er noe lett å finne (ikke prøv å gjøre dette med kubiske ligninger eller høyere, vel, du kan prøve å finne det, men det er veldig vanskelig å finne på dette nivået).
Så vi vil tenke nøye på dette. Hva er problemet med å løse for x her?
I en normal lineær ligning, som ax + b = 0, er det enkelt. x er en forekomst. Problemet med kvadratikk er at det irriterende øks ^ 2 + bx-formatet, siden strategien vår om å trekke ut en konstant og dele for å få x ikke fungerer, har vi det å bli manglet, og vi kan ikke enkelt bruke factoring, siden det vil alltid være et x underskudd på ett hvis vi prøver å faktorisere med x eller x ^ 2.
Jævla, hva gjør vi her da? Vi har en kvadratisk del, det må bety at vi på en eller annen måte må få noe i kvadrat, som (?) ^ 2 = gx ^ 2 + hx + e, hvor vi senere kan legge til som f for å være en konstant som vi enkelt kan trekke ut som vår lineært ligningseksempel. Det er klart at? må inneholde en entall x et sted, men vi må også legge til en konstant i x-delen, da fordelingsegenskapen vil forveksle konstanten med x, og gjøre det også med x og seg selv, og en konstant, og skape en entall x, uten eksponent. Vi vil da være i stand til å kvadratere de konstantene vi har på den andre siden, og deretter løse det som en lineær ligning.
Så, la oss komme i den nevnte posisjonen.
La vi deler vår opprinnelige ligning begge sider med a, slik at jeg kan få en ren x ^ 2, og ikke trenger å bruke \ sqrt {a} som en koeffisient som vil bli mer komplisert.
Vi får x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + c / a = 0.
Ok, så vår form for? må være x + k, da det ikke kan være en koeffisient på x som ikke er en, da distribusjon ikke vil gi et rent x ^ 2. Hva er k da? Vel, la oss tenke litt her – vi vil tvinge på en måte for å få hx = \ frac {b} {a} x. Hver gang jeg kvadrerer noe, og det har to termer som legges til, må jeg bruke distribusjon for å gå stykkevis. Siden når jeg kvadrerer det, multipliserer jeg denne størrelsen (de to ordene som summeres) av seg selv, vil jeg som nevnt få x ^ 2 fra x-begrepet, en konstant fra k-begrepet, men også kx ved å gå gjennom k i den første mengden som multipliserer x i den andre, og x og k den andre veien, men jeg legger til disse for å få 2kx. [for å se dette, skriv (x + k) (x + k), distribuer for å få (x + k) x + (x + k) k. Nå distribuerer du det og tegner stiene for å få x ^ 2 + kx + kx + k ^ 2, noe som gir x ^ 2 + 2kx + k ^ 2]
Så uansett hva denne k er skal være, må vi ha 2kx = \ frac {b} {a} x, men det betyr k = \ frac {b} {2a}. OK, NÅ kommer vi et sted.Husk det faktum at vi kvadrerer, noen (x + k) ^ 2, og når jeg utvider denne get (x + k) (x + k), kommer vi til å følge en gang med multiplikasjon ved fordeling. En slik vei jeg må følge er k ganger k, men vi vet allerede hva k er, så vi må ha litt konstant k ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}. Så la oss bare legge til at på begge sider, som vi kan gjøre, siden det er konstant, og vi ikke bryr oss om hvilken konstant vi får på den andre siden, vi vil bare faktorisere dette rotet riktig.
Så vi gjør nettopp det, og får
x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Og nå har vi alle begrepene som lar oss faktorisere dette i et (x + k) ^ 2 = Konstant format, akkurat det vi ønsket! Vi fant k å være \ frac {b} {2a}, så vi tar bare ut dette.
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Nå ønsker vi å pøse ut dette, legge merke til at vi til slutt kommer til kvadratrot når vi trekker ut konstantene, og vi har på et sikt en nevner på 4a ^ 2, som er veldig lett firkantet. La oss gjøre c / a kompatibel med dette, ved å multiplisere det med 1, som ikke forandrer noe, men 1 = 4a / 4a. Vi trenger ikke å bekymre oss for a = 0 siden hvis det var, ville vi ha en lineær ligning, som ikke er det vi er fokusert på.
Så vi får (x + \ frac {b } {2a}) ^ 2 + 4ac / 4a ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Flott, så trekk nå ut den andre termen siden de har fellesnevnere, og vi få
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}
Og høyre side er konstant nå , vi kan enkelt rotere begge sider!
Vi får
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a }
Dette er ikke helt riktig, ettersom vi må innse at når jeg kvadratroterer et positivt tall, kan d ^ 2, d være positivt eller negativt. Så for godt mål legger vi til et pluss- eller minustegn, og vi får
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} { 2a}
Og vi kan nå trekke ut at k, ettersom vi nå har en lineær ligning å løse, slik vi ønsket, og vi får
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}