Beste svaret
Start med løsningen. Hvis du for eksempel vil at løsningen skal være x = 1, vil den tilsvarende faktoren være x – 1. Siden det er den eneste løsningen, må den være begge faktorene, noe som gjør ligningen
( x – 1) (x – 1) = 0
eller
x ^ 2 – 2x + 1 = 0
Svar
Løsningene til en kvadratisk ligning er de to punktene der grafen krysser x-aksen. Det vil si at det er de to verdiene av x som gjør y null på grafen.
Vi får disse poengene ved å faktorisere ligningen. Først skriver vi om ligningen til formen 0 = ax ^ 2 + bx + c.
Hvis det er enkelt nok, kan vi faktorere høyre side ved å øye på den. Hvis ligningen for eksempel er: 0 = x ^ 2 + 7x + 12, kan du med litt øvelse gjenkjenne at faktorene blir 0 = (x + 3) (x + 4).
Årsaken factoring er så viktig er det faktum at hvis produktet av to tall er lik null, MÅ ett av uttrykkene være null. Så siden vi har 0 på venstre side og et produkt på høyre side (x + 3) (x + 4), må et av disse begrepene være null.
Så, enten x + 3 = 0, eller x + 4 = 0. Vi kan løse for x i begge tilfeller, og vi får x = -3 eller x = -4. Det betyr at grafen til ligningen vår krysser x-aksen på to punkter, -3 og -4, så grafen til denne ligningen er en parabel (alle kvadratiske ligninger er paraboler) forskjøvet til venstre og ned, så de to parabelens armer krysser x-aksen ved -3 og -4.
Noen ganger er det ikke lett å faktorisere ligningen ved å øye på den. Vi kan i så fall bruke den kvadratiske formelen. (Det er veldig morsomt å utlede kvadratformelen – hvis du ikke vet hvordan og vil at jeg skal vise deg, er det bare å spørre.)
Her er kvadratformelen:
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a}
For å teste det, hvis vi kobler til a, b og c fra ligningen vår, er 0 = x ^ 2 + 7x + 12, deretter a = 1, b = 7, c = 12, og plugger inn i formelen vi får:
x = \ frac {-7 \ pm \ sqrt {7 ^ 2 – 4 (1) (12)}} {2 (1)}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {49 – 48}} {2}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {1}} {2}
= \ frac {-7 + 1} {2}, og \ frac {-7 – 1} {2}
= \ frac {-6} {2} = -3, og \ frac {-8} {2} = -4. Så det fungerte!
Ok, alt som er foreløpig på spørsmålet ditt. Spørsmålet ditt er, når er løsningene på en kvadratisk ligning uendelig. Vel, la oss tenke på hva det betyr. Først og fremst er det klart at det ikke er mulig å ha en løsning i det uendelige, men den andre løsningen endelig. Hvis det var tilfelle, ville vi ha et endelig antall ganger uendelig, som ikke kan være lik null.
Så spørsmålet er, er det mulig for begge løsninger for å være uendelig? Hvordan ville dette se ut?
I den kvadratiske formelen ville den eneste måten å gjøre det uendelig være hvis a = 0. Da ville nevneren være null, og dermed ville hele ligningen være «uendelig». Men hvis a = 0, er ligningen ikke lenger kvadratisk, den er lineær, ikke sant? For eksempel er 0 = 0x ^ 2 + 7x + 12 det samme som 0 = 7x + 12. Det er bare en linje, den er lineær, ikke kvadratisk. Men hver linje krysser x-aksen et sted, ikke sant? Den eneste gangen det ikke er når den er parallell med x-aksen. Det vil si når den har en skråning på 0. Det betyr at b = 0. Så nå har vi 0 = 0x ^ 2 + 0x + c. Med andre ord, 0 = c. Men da er c = 0.
Med andre ord er det ingen slik ligning. Som det andre svaret sa, krysser alle kvadratiske ligninger x-aksen på et endelig punkt. (Legg merke til at disse punktene ikke nødvendigvis er reelle! Hvis b ^ 2 – 4ac er negativ, så har ligningen faktisk imaginære røtter. Men de er fortsatt endelige.)