Beste svar
Det er ikke rotasjon i 45 ^ o. Det er transformasjonen for å rotere en vektor i \ mathbb {R} ^ 2 med en vinkel \ theta. Du kan utlede formelen slik:
La vektoren \ mathbf {V} roteres med en vinkel \ theta under litt transformasjon for å få den nye vektoren \ mathbf {V «}.
La r = | \ mathbf {V} |. Så har vi relasjonene:
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x «= r \ cos (\ alpha + \ theta)
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y» = r \ sin (\ alpha + \ theta)
Hvorfra har du forholdet:
v\_x «= v\_x \ cos \ theta – v\_y \ sin \ theta
v\_y «= v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta
Dette er representert i matriseform som
\ begin {pmatrix} v\_x» \\ v\_y «\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta && – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begynn {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
Svar
Det er flere måter å angripe dette problemet på.
Den første er å ganske enkelt påkalle Eulers rotasjon setning, som sier at et endelig antall rotasjoner rundt et enkelt fast punkt (men rundt vilkårlige akser i andre imensjoner) kan uttrykkes som en enkelt rotasjon av vinkelen \ theta rundt en akse \ hatt {n}.
Hvis vi aksepterer at hver rotasjon er representert av en matrise, og at metoden for å rotere en vektor er matriksmultiplikasjon, så følger det umiddelbart av dette at produktet av rotasjonsmatriser A\_1 A\_2 … A\_n også må være en rotasjonsmatrise – ellers har vi brutt Eulers rotasjonssetning.
Spørsmålet er selvfølgelig hvordan du faktisk beviser denne teoremet.
Eulers originale verk er … grovt. Det involverer mange, mange trekanter tegnet på overflaten av kuler (dvs. ikke-euklidiske trekanter).
Hvis du har lyst til å følge beviset til slutt, Wikipedia-siden som er lenket tidligere ser ut til å gjøre en halvveis anstendig jobb.
En alternativ metode (eller, ekvivalent, en sekundær måte å bevise Eulers teorem, antar jeg), er å direkte bruk egenskapene til rotasjonsmatriser, med en liten ekskursjon i gruppeteori.
En rotasjon, matematisk sett, er enhver operasjon der avstandene mellom alle punkter i rommet forblir konstant, og som etterlater et poeng, eller sett med punkter, faste (forutsatt at vi er på et enkelt euklidisk rom), i tillegg til å bevare orienteringsstrukturen til objektet.
I gruppeteoretisk språk kaller vi disse operasjonene (på det euklidiske rommet ) «Spesiell ortogonal gruppe i n-dimensjoner», eller forkortet SO (n).
Matrisene A som er medlemmer av SO (n) er definert av følgende to egenskaper:
- A ^ TA = 1\_n (den ortogonale biten)
- \ text {det} (A) = 1 (den spesielle biten)
Dvs. rotasjonsmatriser er ortogonale matriser med determinant. Her er 1\_n identitetsmatrisen i n dimensjoner.
«Orthogonality» -tilstanden er tilstanden som sikrer at avstander bevares, siden vi i euklidisk rom har lengden dof en vektor \ mathbf {v} som:
\ displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
Hvis vi roterer denne vektoren, slik at \ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}, med A en ortogonal vektor, deretter ved egenskapene til matriksmultiplikasjon:
\ displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
Derfor blir avstand d var upåvirket av rotasjonen.
Alle ortogonale matriser har determinant \ pm 1, men de med negativ determinant inkluderer også en speilvending refleksjon rundt en akse. Gitt at vi ønsker rene rotasjoner, ikke refleksjoner, for å bevare orienteringen av objekter i vårt rom, begrenser vi oss derfor til de med positive determinanter – det er der den «spesielle» biten kommer fra.
Det faktum at jeg har nevnt at disse strukturene danner en gruppe (med tilhørende operasjon som matriksmultiplikasjon) er faktisk tilstrekkelig til å konkludere med at produktet av flere rotasjonsmatriser faktisk også er en rotasjon, siden grupper er definert til å være c tapt under gruppedriften .
Dette betyr at to elementene g\_1 og g\_2 i en gruppe G, med gruppedrift g\_1 \ bullet g\_2 må returnere et tredje element, g\_3, som også er medlem av gruppen G. Derfor, hvis A og B er rotasjonsmatriser, fra definisjonen av en gruppe, følger det at A \ bullet B = AB også er en rotasjonsmatrise.
Selvfølgelig … dette er en juks utvei. For å si at SO (n) var en gruppe, må jeg bevise at dette var sant! Det kan også vises eksplisitt fra følgende generelle egenskaper for transponeringen og determinanten:
- (AB) ^ T = B ^ TA ^ T
- \ text {det} (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B)
Vi konstruerer derfor en matrise C = AB, der A og Bare medlemmer av SO (n) .
Vi vurderer deretter:
- C ^ TC = (B ^ TA ^ T) (AB) = B ^ T (A ^ TA) B = B ^ TB = {1\_n}
- Siden A ^ TA = 1\_n og B ^ TB = 1\_n, og assosiativiteten til matriksmultiplikasjon.
- \ text {det} (C) = \ text {det } (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B) = 1 \ ganger 1 = 1
Vi ser derfor at C er en ortogonal matrise med determinant – dvs. det er et medlem av SO (n), og dermed er en rotasjonsmatrise.
Vi har derfor bevist at SO (n) (og faktisk O (n)) danner en gruppe som er lukket under matriksmultiplikasjon, og dermed er sammenhengingen av flere rotasjoner per definisjon i seg selv en rotasjon.
Vi har derfor bevist Eulers rotasjonssetning.