Beste svaret
En matrisetransformasjon er på hvis og bare hvis matrisen har en dreieposisjon i hver rad. Rad-reduser det, og kontroller deretter om antall pivoter er lik antall rader.
Ok, med det ut av veien, må jeg gjøre min rant nå.
Hver gang noen bruker adjektivet «på» eller «lineært uavhengig» på en matrise, krymper jeg litt. Det er en kategorifeil. I stedet kan du si, «Hvordan vet du om en matrise transformasjon er på?»
Ser du, terminologi er veldig viktig i matematikk . Det fine med lineær algebra er at gitt et lineært system eller lineær transformasjon, kan du skrive ned en matrise, som bare er et rektangel med tall i, assosiert med det lineære systemet eller den lineære transformasjonen. Å gjøre forskjellige ting med boksen med tall gir deg tilbake all slags informasjon om det opprinnelige systemet eller transformasjonen. Lineær algebra er først og fremst studiet av disse relasjonene. Men de fleste lineære algebra-studenter, når de bruker terminologi feil, avslører at de ikke helt forstår hvordan det faktisk er separate begreper å forholde seg til.
Adjektivet «onto» gjelder ganske enkelt ikke matriser. Dette er som å spørre: «Hvordan kan du vite om en seng er søvnig?» Det at du stiller dette spørsmålet betyr at du ikke forstår hva søvnig betyr, eller hva seng betyr, eller begge deler.
Her er et jukseark med hovedtypene av objekter som du opplever i lineær algebra, sammen med noen av de vanligste terminologiene som brukes til å beskrive dem:
For matriser A, B er følgende setninger ikke uklare:
– A er i (rad echelon form / redusert rad echelon form)
-pivot (posisjoner / rader / kolonner ) av A;
-A er (kvadratisk / diagonal / inverterbar / øvre trekant / nedre trekant)
– (Rang / Determinant / Eigenvalues / Eigenvectors / Characteristic polynomial) of A
– (null mellomrom / kolonneplass) av A;
– A er (radekvivalent / lignende) til B
-Matrisetransformasjonen \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x
Hvis A x = b er et system med lineære ligninger , følgende setninger er ikke rotete:
– (Løsning / Løsningssett / Generell løsning) av systemet
-Systemet har (en unik løsning / ingen løsninger / uendelig mange løsninger / n gratis variabler)
-Systemet er (konsistent / inkonsekvent / underbestemt / forbestemt)
– (Koeffisientmatrise / Augmented matrise) av systemet
Hvis T: \ mathbb R ^ n \ mapsto \ mathbb R ^ m er en lineær transformasjon , følger setninger er ikke gibberi sh. Merk at hvis A er en matrise, kan man snakke om matrisetransformasjon \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x, som er en lineær transformasjon.
– (Domain / Codomain / Range) of T
– T er (på / en-til-en / inverterbar)
-Standardmatrise av T; matrise av T med hensyn til baser \ beta\_1, \ beta\_2
– (Rang / Determinant / Eigenvalues / Eigenvectors / Characteristic polynom) av T
Hvis S = \ {v\_1, v\_2, \ ldots, v\_n \} er en vektorer i \ mathbb R ^ m , følgende setninger er ikke uklare. Merk at hvis A er en m \ ganger n matrise, dannes kolonnene i A et slikt sett.
– S er lineært (uavhengig / avhengig)
-Span av S
-S (spenner V / er et grunnlag for V ), der V er et underområde av \ mathbb R ^ m
Svar
En endelig dimensjonal firkantmatrise er på i tilfelle dens determinant er ikke-null. Du kan sjekke dette mest effektivt med Gaussisk eliminering.
Mer generelt er en endelig rektangulær matrise på i tilfelle transponeringen er injeksjonsdyktig, noe som skjer i tilfelle den originale matrisens rader (eller kolonner, avhengig av konvensjonen du bruker for hva som er inngang og hva som er utdata) er lineært uavhengige, det vil si matrisen har full radrangering. Igjen er Gaussisk eliminering din venn: legg matrisen i rad echelonform og sjekk om nedre høyre oppføring er null (ekvivalent, om det er noen rader med alle nuller. Matrisen er på hvis og bare hvis nedre høyre oppføring ikke er nul.