Beste svaret
Hvorfor blir k brukt som proporsjonalitetskonstant?
Ikke bare k . a, b, c, d, m, n, p, q er noen bokstaver i det romerske alfabetet som ofte brukes som konstanter.
\ alpha, \ beta, \ gamma, \ eta, \ kappa, \ lambda, \ mu, \ pi, \ rho, \ tau og \ omega er noen ofte brukte bokstaver i det greske alfabetet som konstanter.
Tilbake til spørsmålet ditt – ingen vet helt sikkert hvorfor. Men jeg tror sterkt at k brukes som konstant nesten overalt, fordi det tyske ordet for «konstant» er konstante https://translate.google.com/#en/de/constant . Og gjett hva? første bokstav i ordet er k . Og tyskerne bidro enormt i matematikk siden begynnelsen av den.
Jeg blir ledet til å tro på denne måten, ikke bare proporsjonalitetskonstant, k betegner også noen spesifiserte konstanterhttps: //en.wikipedia.org/wiki/Mathematical\_constant. Slik som- Boltzmann-konstant , Sierpiński «s konstant , Khinchins konstant , Landau – Ramanujan-konstant – for å nevne noen få. Jeg kan bare gjette at de (de berørte matematikerne eller de som kalte dem) var klar over og påvirket av det tyske ordet konstante.
Det er alt. Takk for at du leser.
Svar
Dette spørsmålet fremhever pent hvordan fysikk er forskjellig fra matematikk.
Husk at formålet med enhver ligning i fysikk, inkludert Newtons andre lov, bare er å modellere et forhold “i den virkelige verden”. Det betyr hvilke størrelser vi velger å være konstante og hvilke vi velger å være variable, avhenger helt av den fysiske situasjonen ligningen er ment å modellere.
Med dette i tankene, la oss komme til Newtons andre lov. Newton selv uttrykte ikke opprinnelig sin lov på den måten. Snarere uttrykte han det (i ord) som
\ mathbf {F} = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt}
Hvor \ mathbf {F} er kraften (merknad, Kraft er en vektor), \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} er hastigheten på endring av momentum \ mathbf {p} (også en vektor).
Den er mulig å tolke dette som en definisjon for styrke, og under den tolkningen er det egentlig ikke meningsfullt å sette inn en konstant proporsjonalitet fordi en definisjon av en størrelse vanligvis forteller oss i de mest direkte termer hva denne størrelsen er i form av en annen størrelse.
Som skrevet er dette selvfølgelig et sett med tre ligninger, som spesifiserer kraftens retning i rommet. I mange situasjoner er imidlertid fysikken i situasjonen slik at vi kanskje bare er interessert i kraftens styrke, og da forenkler dette seg til
F = \ frac {dp} {dt}
Nå er størrelsen på momentum gitt av p = mv. Det mest generelle uttrykket for tidsderivatet av denne størrelsen er
\ frac {dp} {dt} = v \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt}
Det første begrepet til høyre representerer et objekt som beveger seg med konstant hastighet mens massen endres, mens det andre representerer et objekt med en konstant masse som beveger seg med en skiftende hastighet. Nå tar situasjonene vi vanligvis er interessert i å modellere at massen av objektet blir konstant. Det betyr
\ frac {dm} {dt} = 0
Og dermed forsvinner det første begrepet. Vi sitter igjen med
F = m \ frac {dv} {dt} = ma
Og nå skal det være åpenbart: I denne ligningen er proporsjonalitetskonstanten m .
Hvis vi i stedet hadde ønsket å modellere, for eksempel, en rakett som beveger seg med konstant hastighet, men som mister masse (dvs. fordi massen endrer seg over tid) fordi den slipper ut drivstoff som eksos som driver det fremover, vil vi i stedet skrive
F = v \ frac {dm} {dt}
Fordi en konstant hastighet betyr
\ frac {dv} {dt} = 0
Og dermed forsvinner den andre termen i det generelle uttrykket ovenfor. Så, i denne ligningen, er proporsjonalitetskonstanten v.
Hva jeg viser, håper jeg, er at det vi anser å være konstanten av proporsjonalitet avhenger helt av hendelsene i den virkelige verden og forholdet mellom dem. For eksempel ble m en konstant proporsjonalitet mellom styrke og akselerasjon nettopp fordi vi ønsket å modellere en situasjon der massen til objektet var konstant.Tilsvarende ble v en konstant proporsjonalitet mellom kraftens størrelse og tidsendringen av masseendring nettopp fordi vi ønsket å modellere den slags situasjon.
La meg kontrastere dette med hvordan en rent matematisk tilnærming. kan se ut. Husk at skillet er nå at vi egentlig ikke bryr oss om at ligningene modellerer virkeligheten, vi bryr oss bare om at de er konsistente (og selvfølgelig at de fører til ny interessant matematikk). Så når jeg bare gjør matte, er jeg helt fri til å vurdere masse i hvilke enheter jeg vil. For å bringe poenget hjem, la oss velge noe latterlig, som «klatter» som masseenheter. For å bevare konsistensen (og bare av den grunn) må jeg definere forholdet mellom klatter og standardenheter som kilo. La oss si at jeg definerer
1 kilogram = 3 klatter
Vel, med de nye enhetene mine, må jeg nå sette inn en konstant proporsjonalitet i ligningen, siden enhetene Force, Newtons , ikke har klatter i seg. Så med tanke på masse i enheter av klatter, forkortet med bb, blir F = ma
F = \ frac {1} {3} kma
Hvor
k = \ frac {1kg} {1bb} er min proporsjonalitetskonstant. Eller hvis jeg er litt mer matematisk effektiv, skriver jeg
F = k «ma
Where
k» = \ frac {1kg} {3bb } er min nye proporsjonalitetskonstant som nettopp absorberte konstanten \ frac {1} {3}.
Poenget med alt dette er at disse manipulasjonene er rent matematiske. Skillene som er involvert, har ingenting å gjøre med de virkelige forholdene ligningen er ment å modellere. De har ikke noe fysikkinnhold, og det er grunnen til at du i det vesentlige aldri ser noe lignende *.
I de fleste situasjoner er de eneste konstantene av proporsjonalitet du ser i fysikk de som blir påtvunget oss av fysikken i situasjon.
(* Jeg sier «i det vesentlige» fordi det er noen situasjoner, spesielt i elektromagnetisme, der slike problemer oppstår på grunn av forskjellige tradisjoner for å representere mengder, men de fleste fysikere anser dem ikke som «fysikkproblemer») )